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l’une du deuxième et l’autre du quatrième degré. Ainsi de même,on élevera une équation du septième degre au huitième, en lamultipliant par x — 1 , celle-ci se résoudra en deux du qua-trième, dont l’une, au moins, sera divisible par l’équation x — 1,et l’on auroit les deux équations du troisième et du quatrième,composantes du septième et ainsi de suite. Mais malheureuse-ment tout ceci n’est qu’une vérité purement théorique ; car,qui ira chercher la solution d’une équation du septième degré,dans une du soixante dixième Aussi M. Euler conclud seule-ment que toute équation de degré pair quelle qu’elle soit, estrésoluble au moins en facteurs rationaux du second degré ; cequ’il étoit important de'démontrer complètement, et qui étoitson principal but. Car il n’étoit autre que de démontrer quetoute différentielle, à fraction rationelle, est toujours réductibleà la quadrature du cercle ou à celle de l’hyperbole.

Nous devons cependant remarquer que le raisonnement parlequel M. Euler fait voir que l’équation à laquelle il est conduit,aura son dernier terme négatif, n’a pas paru entièrement con-cluant, ni à M. Daviet de Foncenex (1), ni au C. de Lagrange jce qui a engagé le premier à tâcher d’en donner une nouvelledémonstration qu’on peut lire dans le même volume. Mais cettedémonstration même n’a pas encore paru au C. Lagrange exemptede toute difficulté; Et il le fait voir par un exemple, où unequantité qui devroit être réelle devient |, ce qui ne dit rien. LeC. Lagrange a donc pensé devoir étayer de nouvelles preuvesl’assertion de M. Euler , et l’a fait dans les mémoires de l’acad.de Berlin de 1772, d’une manière qui ne laisse plus lieu à aucuneexception, en sorte que cette assertion d’Euler, quoique prouvéepar lui d’une manière non entièrement convaincante, n’en estpas moins vraie.

J’aurois peut être dû commencer ce récit des travaux des géo-mètres de ce siècle pour la résolution générale des équations ,par le moyen tenté à cet effet par M. Fontaine, et qui fait l’objetd’un mémoire publié d’abord dans les mémoires de l’académiede 1747, et ensuite inséré dans le volume séparé de ses oeuvres (2).On l’y voit d’abord trouver par une méthode qui lui est propre,la résolution des équations du troisième et du quatrième degré,en les réduisant chacune à une équation d’un degré immédiate-ment inférieur, d’où il conclud qu’il est probable que de la mêmemanière une équation du cinquième degré , dépend d’une duquatrième ; une du sixième, d’une autre du cinquième, &c. Mais

(1) Miscetlanea Taurinensia , t. I.

(2) Mémoires donnés à l’Académie Royale des Sciences , 6 cc. par M. Fon-taine. Paris, 1764, in 4°,