DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. ,,'5

on regrette de lui voir tout-à coup abandonner cette veine quisembloit promettre des richesses, pour se tourner d’un autrecôté et tenter un autre moyen. Il n’est cependant pas sans vrai-semblance que M. Fontaine l’avoit abandonnée parce qu’elleavoit résisté à tous ses efforts analytiques. Quoiqu’il en soit,ce nouveau moyen consiste à faire l’énumération de toutes le»formes que peuvent prendre les équations de différons degrés,suivant toutes les combinaisons de signes, et d’absence ou deprésence des différens termes. Il développe ensuite chacune deces différentes formes, en tous les facteurs qui peuvent la pro-duire, égaux ou inégaux, réels ou imaginaires, et par là il trouveque pour les équations du troisième degré, dont les formessont au nombre de dix-huit, il y a quatre-vingt-deux de cescombinaisons ; pour les cinquante-quatre formes des équationsdu quatrième degré , il y en a 619 , et pour les formes des équa-tions du cinquième degré , il en trouve 913. Il ne va pas au-delà ; car le sixième degré qui a quatre cent quatre-vingt-sixformes différentes, eût peut-être exigé lui-seul un volume. 11 mesemble , au surplus, que M. Fontaine se seroit épargné une fortepartie de son travail en supposant toutes ces équations sanssecond terme, forme à laquelle elles sont toujours réductibles.

Il s’agit ensuite dans cette méthode, une forme d’équation étantdonnée, de reconnoître la combinaison ouïe système de facteursqui lui convient, car il en est plusieurs pour la même forme,suivant la relation des coefficiens des termes. C’est ce queM. Fontaine travaille à déterminer dans le reste du mémoire,en analysant les différentes conditions que doivent avoir cescoefficiens, pour que l’équation donnée soit le produit de ces fac-teurs ; d’où il conclud que si l’on avoit des tables de toutesces formes d’équations , des différens systèmes de facteurs propresà chacune, et des conditions qui déterminent un de ces systèmesà être celui qui convient plutôt qu’un autre, on pourroit résoudretoute équation, de quelque degré qu’elle fût en ses équationsproductrices simples-, ce qui seroit, sans doute, la résolutioncomplète des équations. Mais ces tables manquent, et quelqu’unaura t il jamais le courage de les former P Le travail, à ce que jecrois, ne seroit cependant pas immense pour les équations dutroisième degré , sur-tout en les supposant privées de leur secondterme ; on auroit par-là, au moins, la résolution complète deséquations de ce degré, et cela engageroit peut-être quelqu’unà attaquer celles du cinquième.

On ne doit pas dissimuler que l’emploi de ce moyen ne fûtencore fort laborieux ; car la manière dont M. Fontaine résoud,par sa méthode , une équation du second degré seulement ,qui est si facile à résoudre par la voie commune, semble prouver