DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Lrv. I. 61

M. de Courtivron a donné dans les mémoires de l’Académiedes Sciences de 17.(4 > une méthode d’approximation qui a desavantages particuliers. Ils consistent à abréger considérablementles substitutions successives et assez laborieuses qu’exige celle dede Neuton pour arriver à des résultats de plus en plus exacts. Ily parvient par une différentiation successive de l’équation pro-posée , ce qui lui donne des valeurs, qui une fois trouvées, n’ontplus besoin que d’être employées en forme de série fort conver-gente. Elle est même applicable à des formes d’équations où lesexposans au lieu d’être des nombres entiers , seroient des frac-tions, comme dans cette équation 2:74-3:7 4 -3:7 =5 ce qui , dansles autres méthodes , exigeroit des opérations laborieuses pour laréduire à la forme ordinaire.

Dans le même temps enfin M. Euler s’occupoit du même objet,et donnoit une formule d’approximation fondée sur des consi-dérations analogues à celles de M. de Courtivron. C’est unesérie qui doit converger avec une grande rapidité , les dénomi-nateurs de ses termes étant 1. 2. 6. 24. 120 , &c. C’est pour-quoi nous croyons devoir l’expliquer dans la note qui est à lasuite de ce livre.

Il est sans doute d’autres méthodes pour le même objet. J’enai vu citer une de M. Kæstner. La réputation de son auteur doiten donner une idée très-favorable , mais elle ne m’est pas venueautrement à ma connaissance.

Quelque ingénieuses néanmoins que soient ces diverses mé-thodes , on est obligé de convenir qu’elles laissoient encore àdésirer quelque chose de plus complet. Le Cit. Lagrange arempli cet objet par divers mémoires sur la résolution tant appro-ximée que complète des équations, quand il y a lieu.

Dans un de ces mémoires (1), et qui a pour objet la résolutiondes équations numériques, il enseigne le moyen de déterminer deslimites plus étroites des racines , chose nécessaire pour Ja réussitedes méthodes de Neuton etHalley, qui exigent qu’on connoissedans une équation la valeur d’une des racines assez approchantede la vérité pour n’en différer guère que d’un dixième. Or, c’estce qu’on ne peut connoître qu’au moyen de limites plus rap-prochées entr’elles que celles données par des analystes subsé-quens, comme Maclaurinj, Campbel , Stirling , &c. Le Cit. La-grange ne laisse rien à désirer à cet égard , et au moyen d’uneéquation nouvelle qu’il enseigne à former d’après les coefficiensde la proposée , et qu’il appelle équation aux différences , parceque ses racines sont les quarrés des différences des racines decette proposée , il détermine des limites des racines réelles de

(1) Acad . de Berlin } ann. 1767,