6 z HISTOIRE

l'équation , rapprochées à un degré d’exactitude presque adlibitum ; après quoi il trouve une valeur de plus en plus appro-chante de la racine comprise entre les deux limites déterminées.Il y applique eniin la théorie des fractions continues , théorieque nous exposerons dans la suite, et qui est le moyen le plusavantageux à employer en pareil cas pour approcher rapidementde la valeur cherchée ; vu qu’il en résulte une suite de valeursqui sont toujours et alternativement l’une plus grande , l’autremoindre que celle qu’on cherche, et qui s’en approchent conti-nuellement de telle sorte , qu’on ne sauroit en trouver une plusexacte en un aussi petit nombre de chiffres. Cette méthode ameme l’avantage de donner souvent la racine exacte : car sil’équation a une racine entière , la série se termine tout-à-coupaprès quelques termes. On reviendra sur cet objet en parlant dece genre de fractions.

Cette méthode sert aussi au Cit. Lagrange à déterminer dansune équation donnée les racines égales et leur nombre , ainsique celui des racines imaginaires , et à trouver enlin la valeurdes deux quantités réelles, comme a et b qui entrent dans uneracine imaginaire, comme rzrhZ»'J/—1 , expression à laquelleelles se réduisent toujours , comme sait tout analyste.

Il est enfin un genre d’équations qu’on nomme littérales,parce que les coefficiens de ses termes sont donnés indéfinimenten lettres au lieu de nombres ; ce qui leur donne beaucoup plusde généralité. Ces équations ont été aussi l’objet d’un travailextrêmement profond du Cit. Lagrange ( i ). Il y enseigne lamanière de les réduire en séries, et sa méthode a sur celle dequelques autres géomètres, qui avoient aussi considéré ces équa-tions , un grand nombre d’avantages , comme celui de donnerl’expression de chaque racine , au lieu que les méthodes dontnous venons de parler ne donnent ordinairement que celle d’uned’elles ; celui de fournir des séries régulières et faciles à con-tinuer aussi loin qu’on peut le vouloir ; celui de donner le moyende reconnoître leur convergence ou divergence ; enfin d’être appli-cable même à des équations qui contiennent des quantités trans-cendantes , comme des logarithmes, des arcs de cercle, &c. Pourparvenir à toutes ces découvertes qui mettent , pour ainsi dire ,le comble à cette partie de la théorie des équations , le Cit. La-grange fait usage d’un beau théorème de son invention , sur lesFonctions , théorème que nous ferons connoître en parlant dela théorie de ces expressions analytiques. Nous avions com-mencé une exposition plus détaillée de toutes ces choses. Maiscous avons reconnu qu’elle nous mèneroit beaucoup plus loin

fi) Voyez Mémoires de l’Acad, de Berlin , ann. 1768.