7 \ HISTOIRE

de dire un mot sur la manière de donner aux équations descourbes la tonne et l’arrangement les plus oonvenabtes pour euanalyser les propriétés.

L’équation d’une courbe , pour avoir la phus grande généralitépossible , doit compremdre toutes les combinaisons de ses co-ordonnées , x ( l’abscisse ) et y ( l’ordonné<e ) , qui n’excèdentpas le degré de l’équation. Ainsi dans le .second degré , parexemple, on doit y trouver^ 1 , y j xy , x et x 1 avec un termeconnu , et chacun de ces termes , savoir ceiux où entre x ou y,doit être multiplié par un coéfficient indéterminé , qui peutêtre positif, ou négatif, ou nul ; au moyein de quoi , on auratoutes les variétés que peut éprouver l’équation , soit quant auxsignes de ses termes , soit quant aux termes qui peuvent ymanquer.

Ainsi, l’équation la plus générale du premier degré étanty -{-ax -\-b-xz o, celle du second degré sera y 1 -f- a xy -f- by' 1 -f- ex 1-f- dx e = o ; celle du troisième sera y' -f- by* 4- axy* -f- exxy-f- dxy -f- ey + fx^ hx -f z = o, &c., dans lesquels chaque

terme , hors le premier qui doit être toujours positif, peut êtrepositif, ou négatif, ou nul , par les valeurs indéterminées descoéfliciens. Mais pour ordonner ces équations, l’usage est de lesarranger ainsi, relativement à la plus haute puissance de l’ordonnée :

J 3 + (ax + b)y*-\- (exx ^ dx -f e)y -f (/ùr’-j- gx* \ hx -f i) = oj

ou , ce qui a des avantages particuliers , de cette manière :

y % + ax 1 + f +fx’ -n

+ 6 i J + dx > y + g** ( _

+ e ) + hx ( ’

+ i J

où l’on voit que ax -j- b est le coefficient du second terme »ex * + dx e celui du troisième , &c.

On pourroit également ordonner , si l’on vouloit, l’équationpar rapport à x et à ses puissances ; ce ne serait que prendrey pour abscisse , et x pour l’ordonnée , en gardant la mêmeorigine S , mais en rapportant la courbe à l’axe SB, au lieude SA (fig- 21 ) j ce qui n’a aucune difficulté.

La clef principale et presque universelle de la théorie deslignes courbes , est la transformation de leurs équations , et laconsidération de la forme qu’elles prennent par cette opération-Transformer l'équation d’une courbe , c’est transporter l’originede ses co-ordonnées dans un autre point , donner même à sonaxe une inclinaison différente de celle de l’axe primitif, changerenfin l’angle de ses ordonnées avec leur axe, et trouver , d’après