7 g histoire

à l'origine P , avec des ordonnées inclinées PQ, pq , &c., serau' + l nr -=fl n — p -L=IÜL±^ = o.

1 rr rr

Si l’on vouloit que le nouvel axe fut lui-même incliné à l’axeprimitif, on y "parviendroit encore. 11 est en effet dans la théoriedes courbes des équations qui l’exigeront , comme celle dedéterminer le centre d’une courbe , lorsqu’elle est de nature àen avoir un. Mais ces opérations , qui paroissent assez longueset laborieuses , sont considérablement abrégées par divers pro-cédés qu’enseigne Cramer, et qui sont tels, qu’il n’est presquebesoin , d’après l’inspection de l’équation primitive, que d’écrirecouramment la nouvelle équation. 11 est même rarement besoinde transformation si compliquée , parce que , comme on leverra dans la suite , on reconnoîtra souvent d’avance les termesqui doivent être anéantis dans la nouvelle transformée.

Il est aisé de voir par le procédé de cette transformation ,que dans la nouvelle équation , la nouvelle indéterminée u ,représentant l’ordonnée , ne sauroit monter à un degré plushaut que celui où montoitjy dans l’équation primitive, et l’in-déterminée z à un degré plus haut que ac. Ainsi les diversesvaleurs qu’aura u en donnant à l’abscisse z une valeur déter-minée , et dont le nombre ne sauroit être plus grand que celuide l’exposant de u , désigneront le nombre des points où l’or-donnée coupera la combe ; et si l’on fait l’ordonnée u égale àzéro , l’équation qui en résultera , et où il n’y aura que l’abs-cisse z ou ses puissances , désignera par ses racines les pointsoù l’axe des abscisses coupera la courbe ; ce qui ne peut êtredans cet exemple qu’en un point , l’abscisse z n’ayant qu’unedimension ; et effet , l’axe et toute parallèle à l’axe dans laparabole , ne la peut couper qu’en un point.

Nous tirerons de là , en passant la démonstration de ce quenous avons donné plusieurs fois comme une vérité fondamen-tale de la théorie des lignes courbes, savoir qu’une ligne droite ,dans une position quelconque , ne sauroit couper une couibeen plus de points qu’il n’y a d’unités dans l’exposant du termele plus haut de son équation ; comme aussi qu’une ligne pa-rallèle aux ordonnées ne peut couper la courbe en plus de pointsque la plus haute puissance de l’ordounée ; enlin , que la pa-rallèle à l’axe des abscisses ne sauroit non plus la couper enplus de points que la plus haute puissance de l’abscisse dansl’équation.

11 suit encore, de ce qu’on vient de dire, que si dans cetteéquation on fait z ou l’abscisse =o, elle exprimera par lenombre des valeurs du u , le nombre de points où la courbesera coupée par cette ordonnée, passant par l’origine f des