DES MA THÉ AMTIQUES. Part. V. Liv. I. 77abscisses ; paiconséquent , si le point P est tellement situé qu’ilait nécessairement une valeur de u qui s’anéantisse , ce quiarrivera , si le point P est dans la courbe même , le dernierterme disparoîtra ; car ce dernier terme est , comme on sait ,le produit de toutes les racines de l’équation : d’où il suit quesi une d’elles est zéro, ce produit est lui-même =0. Et parune raison semblable , si dans une équation il y a deux racines— o , le pénultième terme disparoîtra aussi ; car s’il y a, parexemple , cinq racines , ou que l’équation soit du cinquièmedegré , le coéfficient de ce pénultième terme sera la sommedes produits des racines prises quatre à quatre ; ainsi , y ayantdeux racines égales à zéro , il en entrera nécessairement unedans chaque produit : conséquemment , ils seront tous égauxà zéro. L’analogie est facile à suivre. Si trois racines de l’équa-tion sont nulles, les trois derniers termes manqueront, et ainside suite.

Mais quand est-ce que le point de l’origine sera tel , qu’aumoins une des racines de l’équation de la courfe sera égale àzéro ? ce sera évidemment quand ce point sera un de ceux dela courbe même. Voici donc déjà une vérité remarquable danscette théorie , savoir que toutes les fois que dans l’équationd’une courbe, le dernier terme, ou terme constant , manquera,c’est un signe que l’origine des abscisses est prise sur la courbemême.

Que si le point auquel est prise cette origine appartient deuxfois à la courbe, ce qui est le cas d’un point double, il y auradeux racines de l’équation , ou deux valeurs de l’ordonnéeégales à zéro \ les deux derniers termes de l’équation s’évanoui-ront donc , et vice versa. Si donc dans une équation les deuxderniers termes , savoir le terme constant et le ternie où y setrouveroit au premier degré , se trouvent manquer , c’est unsigne que le sommet des oc est un^point double. Ce seroit unpoint triple, si trois termes, c’est-à-dire ceux de y 1 , y et y 0 ,ou le terme constant , n’existoient pas.

Nous avons donc, dans ces remarques , un moyen de déter-miner si un point quelconque d’une courbe est simple , doubleou triple , &c. Pour cet effet , il n’y a qu’à transporter l’originedes co-ordonnées à ce point de la courbe , dont l’abscisse etl’ordonnée correspondantes sont données, puisque sa positionest connue, et que nous nommerons par cette raison m et nrespectivement. Or nous avons vu que ce transport se fait eusubstituant dans l’équation primitive les valeurs m-\-u et n-\-zh y et x ; mais comme il faudra , dans la transformée qui enlîésultera, faire z=o , autant vaut, et cela abrégera l’opéra-tion , supprimer z tout de suite , et ne substituer à y et x ,