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HISTOIREou la coupe en trois points. Ainsi, dans l’équation transforméecomme on l’a dit ci dessus , l’ordonnée u doit être trois foiségales à zéro ; conséquemment dans cette transformée lorsque lerapport de r à s déterminera l’ordonnée à l’origine à être tan-gente, il faudra que ces trois derniers termes soient zéro. Il faudradonc pour déterminer ce rapport de r à s , les deux dernierstermes étant déjà nuis, prendre le coefficient de l'antepenultièmeet l’égaler à zéro. Or dans ce coefficient r et s seront toujoursau second degré , de sorte qu’on aura deux rapports de r à s.Cela ne doit point surprendre ; au contraire, si l’on a quelquefoi en l’analyse , on doit s’attendre à quelque chose de semblable.Car à un point double répondent deux tangentes , une à chacunedes branches de la courbe qui s’y entrecoupent. 11 doit donc yavoir deux rapports diliérens de /• à s si ces deux tangentes necoïncident pas. Ces deux rapports étant construits donneront lesdeux langentes au point double proposé.

Mais dans une équation du second degré , il peut n’y avoiraucune racine réelle. Si cela arrivoit dans le cas présent, ceseroit un signe que le point dont on demande la tangente estun point conjugué. Car un point conjugué n’en sauroit avoiraucune ; toutes les lignes menées par un |,areil point sont, à pro-prement parler , des sécantes, où si l’on veut que ce point ait unetangente elle est absolument indéterminée , et l’analyse se sauveici comme dans d’autres cas semblables, par une expression inex-plicable, Ceci nous donne le moyen de distinguer parmi les pointsdoubles ceux qui sont des noeuds de la courbe et ceux qui sontdes points conjugués. Dans l’un et l’autre cas, le dernier et avantdernier terme s’évanouissent. Mais lorsque le point qu’on exa-mine est un simple noeud , il y a deux tangentes données par lesdeux racines réelles du coefficient du terme ante-pénultième égaléà zéro ; au lieu que si c’est un point-conjugué , ces deux racinessont imaginaires.

Le lecteur pourroit maintenant reconnoître sans notre secoursce qu’on devroit conclure si l’on tronvoit ces deux racines égales.Ce seroit un signe que le point qu’on examine est un point oùles deux branches de la courbe ont une tangente commune , cece qui est le propre d’un point de rebroussement.

Il est encore facile , d’après tout ce qu’on vient de dire , deconcevoir que si dans la transformée les trois derniers termesmanquoient , cela désigneroit que le point dont on de» ande lataugente seroit un point triple , et le rapport qui détermineraitses tangentes se trouverait en résolvant l’équation du troisièmedegré qui naîtrait du coefficient du terme précédent, égalé àzéro. Si ces trois racines sont réelles , on aura trois valeurs dif-férentes du rapport de rk s , qui détermineront les positions des

trois