DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 79

Mais en voilà assez sur les points multiples. Nous allonspasser à la manière de déterminer les tangentes et les pointsd’inilexion.

La détermination des tangentes exige une transformation unpeu plus compliquée que la précédente ; car il faut transformerl’équation en transportant son origine au point dont la tangenteest cherchée , en supposant indéterminée l’inclinaison de l’or-donnée ; ce qui se fera , en substituant n -f- ru à y, et m -f- z + suà x , ou parce que z doit être égal à zéro , puisque le pointest pris dans la courbe, en substituant tout uniment n -f- ru ày , et m-\-su à sr. Ici m et n sont données , puisque ce sontles co-ordonnées au point donné ; ce sont donc seulement r et xqui sont les indéterminées à déterminer.

Maintenant observons que l’équation d’une courbe étant ainsitransformée , cette nouvelle équation donne par les différentesvaleurs de son ordonnée u, les différens points où elle coupe lacourbe. Mais si cette ordonnée qui coupe déjà la courbe à l’ori-gine , puisque nous avons transporté cette origine à un point dela courbe même ; si, dis-je, cette ordonnée, dont la position estindéterminée , est déterminée à la couper clans un autre pointinfiniment voisin, elle sera tangente ; ainsi elle aura deux valeurségales à zéro. Il faudra donc si cette première ordonnée est tan-gente, que le rapport de rà r qui détermine son inclinaison surl’axe , soit tel que dans l’équation transformée le pénultièmeterme soit =0. Car , nous l’avons déjà dit plus haut , dans uneéquation qui a deux racines égales à zéro , les deux dernierstermes s’anéantissent. Ainsi pour trouver le rapport de r à s quidétermine l’ordonnée u passant par l’origine , à être tangente ,il faut prendre le pénullième terme ( le dernier manquant déjàessentiellement , puisque l’origine est un point de la courbe) , etdans ce terme égaler à zéro le coefficient qui P affecte. Or cecoefficient est nécessairement de cette forme ArztBj, A et Bétant des valeurs données en m et m , ainsi l’on aura par uneéquation du premier degré le rapport de r à s , et par consé-quent une valeur unique de ce rapport , et cette valeur étantconstruite donnera l’inclinaison de la tangente à l’égard de sonaxe ou de l’axe principal qui lui est parallèle.

Ceci est pour les points simples , auxquels nous avons vu quel’origine étant transportée, le seul terme constant manque dansla transformée. Mais si le point auquel on cherche la tangenteest un point double , le pénultième terme manqueroit aussi danscette transformée. Pour reconnoître ce qu’il faut faire dans cecas , on doit remarquer que de même que la tangente à un pointsimple est censée couper la courbe en deux points infinimentproches , la tangente à un point double réunit trois intersections