DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. ^et dans la spirale de Pappus décrite sur la surface de l’hémis-phère. On les nominoit, par cette raison, lieux à la surface ;mais les spéculations des anciens à cet égard, du moins ce quinous en reste , est extrêmement borné.

C’est par une considération plus approfondie de ces courbesque le célèbre Clairaut, âgé encore seulement de seize ans, fitson début dans le monde géométrique , début qui fit dès-lorsconcevoir de lui des espérances qu’il a si bien réalisées dans lasuite ( i ) ; mais entrons sur ce sujet dans quelques détails propresà donner une idée de cette théorie.

Une courbe à double courbure étant sise comme on voudradans l’espace, ou peut concevoir un plan au-dessous, et de chacunde ses points des perpendiculaires abaissées sur ce plan , qui ytraceront une courbe. Soit encore sur ce plan une ligne à volontéservant d’axe à cette dernière courbe, et que de chacun de sespoints soient menées des perpendiculaires à cet axe qui en serontles ordonnées. En les nommanty, et .r leurs distances à un pointfixe , et enfin appellant z les perpendiculaires abaissées de lacourbe proposée sur le plan donné , on verra facilement quel’équation de la courbe sera donnée par la relation de ces troisvariables x, y , z; ou que zsera une fonction de x et y. C’està-peu-près ainsi qu’est donnée l’équation d’une surface courbe ;mais il y a ici cette différence que dans cette dernière le rapport’de x et y est indéterminé ; c’est-à-dire que x et y ne dépendentpoint l’une de l’autre, au lieu que dans l’équation de la courbe àdouble courbure, ce rapport est déterminé par l’équation de cellequi a sa projection sur le plan horisontal.

Ainsi supposons que cette courbe soit une parabole dont l’é-quation soit yy s px , et que sur le plan de cette parabole, àl’extrémité de chaque ordonnée^ soit élevée une perpendiculaireZ, dont le rapport avec y soit exprimé par une équation quel-conque , comme ax A-yy xi zs, l’équation de la courbe à doublecourbure sera exprimée par ces deux équations , et si dans laseconde on substitue à la place de y la valeur tirée de la seconde,ce qui la rendra aa -+- px xi zz ; cette dernière équation repré-sentera celle de la courbe qui seroit la projection de celle à doublecourbure sur un plan perpendiculaire passant par l’axe des x.

On peut encore concevoir une courbe à double courbure ,comine formée par l’intersection d’une surface courbe avec lasurface cylindrique élevée sur une courbe décrite sur le plan dela base; x et y étant les ordonnées de cette courbe, les perpen-diculaires élevées sur chacun de ces points jusqu’à la surfacecourbe, seront les ordonnées z, et seront données par l’équation

(i) Recherches sur les courbes à double courbure. Paris , 1730, //1-4 0 .

N 2