100 • HISTOIRE

de la surface dans laquelle on aura fait disparoître^y en y subs-tituant sa valeur donnée en x.

Que l’équation de la surface soit , par exemple , celle de lasurface sphérique ( en prenant l’origine des x à l’extrémité d’undiamètre ), savoir zz — irx -t- xx -+- yy cr o, et que la projec-tion de la courbe sur le plan de la base soit le cercle décrit surle rayon /-comme diamètre; On aura yy s rx —• xx. Ainsi,substituant cette valeur dans l’équation ci-dessus, on aura zz —

-irx s o : z zi V '2-rx. On pourra donc construire cette courbedans l’espace, en élevant à chaque extrémité des y , une perpen-

' diculaire au plan de la base, égale à ]/ 2 rx.

Il est au surplus assez aisé de voir que cette dernière équationest celle de la courbe qui seroit la projection horizontale decelle à double courbure sur un plan perpendiculaire à la baseet passant par la ligne des x ; cette projection sera ici uneparabole.

L’équation d’une courbe à double courbure doit donc êtredonnée par deux équations, l’une entre x et y , et l’autre entrez et x, ou zet^y, et toutes les fois qu’on aura deux pareilleséquations on pourra construire la courbe dans l’espace.

Il y a comme dans la théorie ordinaire des courbes,des courbes'à double courbure qui sont géométriques, d’autres mécaniquesou transcendantes. Celle dont on vient de parler est du nombredes géométriques, parce que chacune des deux équations quiservent à l’exprimer est finie ; mais par exemple l’hélice décritesur la surface d’un cylindre est transcendante, la valeur de sn’étant donnée que par son rapport avec une quantité transcen-dante, savoir l’arc de cercle répondant à x ou y.

On peut proposer sur les courbes à double courbure les mêmesproblèmes que sur les courbes planes, comme ceux de leurstangentes, leurs quadratures, leurs rectifications, leurs centresd’osculation ou quantité de courbure.

A l’égard des tangentes il est aisé de voir que si l’on tire unetangente à un point de la courbe de projection sur la base, latangente au point de la courbe dont ce point de la base est laprojection , sera dans le même plan et concourra avec elle ou luisera parallèle. On verra aussi facilement que si l’on nomme 5 l’axede la courbe projetté sur la base, on aura sa différentielle ds, et

qu’on aura ce rapport dz\ ds : : z : ^, qui sera l’expression de

la tangente ; ainsi dans l’exemple ci-dessus la courbe projettéesur la base étant un cercle au diamètre r, et ayant pour équation

yyzzrx <—xx , on aura on a, d’un autre