DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. î 2 3encore, le rapport cherché. Mais si ces numérateurs et dénomi-nateurs devenoient encore, par cette substitution, égaux à zéro ,il faudrait les dif’férentier de nouveau et procéder comme on a faitla première fois.

Ainsi veut-t-on d’abord trouver si un point donné dans unecourbe est simple, ou double, ou triple, après avoir ordonnél’équation de la courbe, on la différentiera , et l’on prendra pournumérateur tous les termes affectés de dx , et pour dénominateur

tous ceux affectés de dy ; on aura donc alors ^ égal à cette frac-tion. On y substituera les valeurs de x et de y qui sont donnéespuisque le point est donné ; si l’un et l’autre membre de cettefraction ne sont pas anéantis, leur rapport exprimera celui del’ordonnée à la soutangente, il n’y en aura qu’une et le pointsera simple. Au contraire ces numérateurs et dénominateursdeviennent-ils égaux à zéro , ce sera le signe d’un point au moinsdouble ; mais pour savoir s'il est double seulement ou triple , onles différentiera de nouveau, et s’ils deviennent encore o, en ysubstituant les valeurs qui ont fait évanouir les premières, ce seraune preuve que le point est plus que double, et au moins triple.Si au contraire ces numérateurs et dénominateurs ne s’évanouis-sent point, le point sera seulement double.

Mais il est maintenant nécessaire de reconnoître de quelleespèce de duplicité est ce point ; car un point double est égalementun point d’intersection de deux branches d’une courbe, ou unpoint de rebroussement, ou un point isolé : voici comment l’Ana-lyse fait reconnoître ces singularité» différentes.

Après avoir différentié une seconde fois le numérateur et ledénominateur qui étoient devenus o par la substitution ci-dessus,il en résultera , puisque le point n’est que double, une fractiondont le numérateur et le dénominateur resteront finis lorsqu’ony substituera de nouveau les valeurs données de x et y pour lepoint donné. On aura donc une fraction finie qui aura ou deuxvaleurs inégales, ou égales , ou aucune, l’une et l’autre devenantimaginaire. S’il y a deux valeurs inégales, elles désigneront lesdeux tangentes au point commun des deux branches de la courbequi s’entrecoupent, ce sera un point de cette espèce. Si les deuxvaleurs sont égales ou zéro, le point sera un rebroussement; carcela dénotera une seule tangente commune aux deux branches ;enfin si ces valeurs étoient imaginaires, ce point double seroitun point conjugué : car un point conjugué ne sauroit avoir detangente. Toute ligne passant par un pareil point est sécante, ousi l’on veut tangente quelque soit sa position.

Nous n’en dirons pas davantage sur cet objet, les exemplesdonnés dans une note éclaircirons suffisamment ces préceptes,