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et suffiront à ceux qui sont doués de l’esprit d’Analyse pour voircomment on doit se conduire dans des cas de points d’une multi-plicité supérieure.

Mais il est encore un problème à résoudre sur ce sujet. Unecourbe étant donnée par son équation, trouver si elle a quelquepoint double ; car il est aisé de voir que cette détermination estessentielle pour reconnoître la forme de la courbe.

On peut facilement résoudre ce problème si l’on a bien conçula solution du premier ; il n’y aura qu’à différentier l’équation

de la couibe, pour en tirer la valeur finie de A ~ , comme on l’a

fait plus haut. On aura donc une expression fractionnaire dont lenumérateur et le dénominateur doivent devenir zéro en y subs-tituant quelque valeur de ce et y. 11 faudra donc chercher unepareille valeur qui fasse évanouir le numérateur ou le dénomina-teur , suivant ce qui sera le plus commode. Substituez alors dansle dénominateur ou le numérateur ces mêmes valeurs de a: et^,s’il devient aussi zéro , non seulement il y a un point au moinsdouble , mais ce point est donné par la valeur de x qui a produitcet évanouissement ; s’il y a plusieurs valeurs de x capables deproduire cet effet, comme quand le numérateur et le dénomi-nateur sont d’un degré plus élevé que le premier ; dans ce cas il yaura autant de points doubles au moins, que de valeurs de x onaura trouvé propres à cet effet, et alors on examinera, commeon l’a enseigné plus haut, de quelle espèce est ce point ou cha-cun de ces points multiples.

Nous pourrions développer de même la manière de discernerles points de rebroussement, mais cela nous inèneroit trop loin.Nous nous bornons à quelques mots sur les points de serpentementet la manière dont le calcul différentiel sert à les trouver.

Par l’explication que nous avons donnée du point de serpente-ment simple, on a du voir que ce n est autre chose qu’un pointd’inflexion; il faudra donc, pour le trouver, faire la secondedifférence dejy ou ddy z= o; mais cela ne sufïiroit pas, et c’estici que plusieurs auteurs se sont trompés; car il en est ici commequand on cherche un maximum ou un minimun. On n’est pastoujours fondé à conclure ou’on en a un , de ce que l’on a dy=o ;car si en même temps on avoit aussi ddy — o, ce seroit un pointd’inflexion dont la tangente-sécante seroit parallèle à l’axe. 11 enest de même dans le cas présent ; lorsqu’on cherche un pointd’inflexion ou de serpentement simple, il ne suffit pas que ddysoit = o; mais il faut de plus que la différence subséquente ne le6oit pas, c’est-à-dire que différentiant de nouveau l’expressiontrou • ée égale à ddy , il ne faut pas qu’en y substituant la mêmeyaleur de x elle devienne égale à zéro j en effet si cela étoit iLen