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ordinaire : on ne peut donner de règles générales ; et si legéomètre n’est secondé d’une certaine sagacité , il est arrêtépar ce qui est un jeu pour un antre. La manière dont on doitse conduire est suggérée par la nature du calcul et la forme del’expression. Le calcul intégral étant l’inverse du différentiel,on a remarqué ce qui arrivoit en différentiant une expressiond’une certaine forme. Par exemple , si l’on différentie x m , ontrouve m. x m ~' dx. On en a conclu que pour intégrer une ex-pression de cette forme , il falloit augmenter de l’unité l’expo-sant de la puissance de la variable qui multiplie dx , diviserle tout par cet exposant ainsi augmenté, et supprimer le signede Ja différentiation dx ; car par ce procédé , on revient à x m .

De même en prenant la différentielle def, on a remarqué qu’elledevenoit ——. Lors donc qu’on rencontrera dans le dénomina-

X 1 A

teur un quarré , il faudra voir si l’intégrale ne sera point unefonction ayant la racine de ce quarré pour dénominateur. Ainsi

encore ~ ayant pour différentielle , on en conclut qu’une

expression telle qu eydx — xdy (fort différente de ydx -j- xdy°,dont l’intégrale est xy ) étant divisée parjjq a pour intégrale^.

Quelquefois, et c’est ici un artifice d’un usage fort fréquent,il suffit de simplilier des expressions complexes , et la différen-tielle se réduit à une forme visiblement intégrale. Ainsi cettedifférentielle , assez compliquée au premier coup - d’œil ,

z 1 "-' dz ~[/ e ±Jz n , se réduit (en supposant ~\/e±fz n — x) tX dont l’intégrale se trouve facilement ; car mul-

tipliant par 1 on a —— fp —— > dont l’intégrale , par la

ou

6 r' + ice*’

ij/'n ’

règle ci-dessus, est

h ’ r/ « ?/•" _

On trouve par une semblable transformation que z in ~''\/e±fz'—-- 2

se réduit à X * f~‘ > qui cst aussi intégrable , puisqu’il n’y a

/«

qu’à faire le quarré de -ÿ- > et en multiplier chaque membre

par

lx ‘ rx , ce qui donnera trois termes visiblement intégrables.

Cette transformation nous apprend même une véîité qu’il estimportant de retenir ; c’est que toutes les fois que la quantitéhors le signe radical est multiple ou sous-multiple de la diffé-rentielle de la variable qui est sous le signe, ou de cette diffé-rentielle multipliée par son quarré , ou son cube , ou telle autrepuissance entière qu’on voudra , l’expression sera intégrable.