DES MATHEMATIQUES. Part. V. Liv. I. i 3 9chacune se trouve , ou seulement combinée avec sa variable ,ou avec une grandeur formée d’une manière quelconque decette variable et de quantités constantes. Telles sont ces équa-tions différentielles ady = xdx ; a ydy = xdx ]/xx dr a a ;

, &c. On peut y ajouter ce cas ydx — Xdx , en

supposant X une quantité quelconque rationnelle ou irration-nelle , entière ou fractionnaire, dans laquelle entre seulementla variable x , ce qu’on appelle aujourd’hui Fonction. Car S.ydxétant l’expression d’une aire de courbe, il ne s’agit pour avoircette aire , que d’intégrer Xdx.

Quelquefois cette opération peut se faire en termes finis. Ainsidans Ja première des équations différentielles ci-dessus , on a

ay = ~ ; dans la seconde ~ = j aa ± xx X J/ua rfc xx. Il est

aisé de le vérifier , en différentiant ces quantités. Nous parle-rons plus bas d’une addition qu’il faut faire quelquefois auxintégrales pour les completter.

Mais trop souvent on ne peut trouver l’intégrale de cettemanière ; il faut ou recourir aux Suites infinies , ou à ce qu’onappelle les quadratures , c’est-à-dire à représenter ces intégralespar des aires de courbes d’équation connue : c’est ce qui ar-rive à la troisième des intégrales ci-dessus ; car elle nous ap-prend que le logarithme de a y est égal à un certain secteurde cercle ou d’hyperbole ; de sorte qu’on ne peut trouver l’uneet l’autre intégrale que par approximation.

Le second cas de la méthode inverse des fluxions , ou ducalcul intégral, celui qui fait surtout le tourment des géomètres,est lorsque les variables sont mêlées avec leurs différentielles ,ou même avec des différentielles de divers ordres, sans qu’onvoye comment les démêler. On en a un exemple dans cetteexpression axdy — y'dx + dxdy ; il y a , ou du moins onpeut le présumer , quelque grandeur composée de a: et y , d’oùest venue cette différentielle. Quelquefois cela se présente assezfacilement ; mais le plus souvent, on n’y parvient que par destours d’analyse particuliers , et il n’y a jusqu’ici aucune méthodegénérale pour ces sortes de cas. Cette partie du calcul intégralse nomme la méthode inverse des tangentes , parce que la dé-termination de l’équation d’une courbe par la propriété de satangente conduit ordinairement à de semblables expressions.Elle a été spécialement cultivée par les géomètres du continent,et c’est à eux qu’elle doit ses progrès. Son importance nous aengagé à en traiter dans plusieurs articles particuliers.

H en est à-peu-près du calcul intégral comme de l’analyse

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