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14» HISTOIRE

Il faut alors supposer x dans l’intégrale, égale-à a ; et*si ce qu’elledevient est positif, l’ôter de l’intégrale, puisqu’elle est trop grande ;comme au contraire l’ajouter, si le résultat est négatif, puisqu’elleest trop petite ; c’est ce qu’on devroit faire si , dans le problèmeprécédent on avoit supposé l’abscisse A P =x , tandis qu’on nedemande que la grandeur du segment C B P Q. Car on trouveroit

la fluxion de cette aire égale à dx~yp x , et son intégrale

~x~ypx. Mais cette expression est celle de l’aire totale A PQ,et l’aire demandée doit s’évanouir lorsque AP = AB. Il faut donc

supposer x = a, et l’intégrale ci-dessus se réduira à ~ a' J /pa ,qui étant positive doit être retranchée de la précédente , ensorte

que la vraie valeur de l’aire demandée sera fx]/p x ja~[/p a.

Parmi les formes de différentielles dont l’intégration a occupéles Géomètres , les premières sont celles où l’on a le signe diffé-rentiel dx , multiplié par x élevé à une puissance quelconque ,et le tout encore multiplié par un binôme ou trinôme , élevélui-même à une puissance entière ou fractionnaire , positive ou

négative ; telles sont celles-ci : dx J/aa rb xx ; dxj/zax ± xx ;

a ^ X a ^ x 7 / "T dx dx p

. , ou —y — : dx 1 /xx ± aa ; —-— , ou-, &c. Un

\faa.+xx J y 20.x ± xx* y ' aa + xx' xx — aa 7

a aisément apperçu qu’elles représentoient des aires ou dessegmens circulaires ou hyperboliques , ou des arcs circulaires jcar en différentiant ces aires ou arcs , on rencontre ces formes.De là , en s’élevant à des cas plus composés , on a supposéun coéfficient à dx , comme x , x *, enfin x m , m exprimantun nombre quelconque entier , positif ou négatif ; ce qui a

donné des formes de différentielles telles que xdx~\/aa -+- xx,

xdxj/zaxdtzxx , x 1 dx'[/aadz xx , &c. j et par des transfor-mations , on est parvenu à les réduire aux premières , lors-qu’elles ne s’intégroient pas absolument comme elles le font

quelquefois ; car l’intégrale absolue de xdx ~\/ aa zir xx est

aa ± xxl/aa xx , . . r . _ , --7—- .

—-^—=— ( ce qui se trouve en faisant y aa± xx = z , et

substituant cette valeur dans la précédente , d’où l’on tirexdx f /aa ± xx =; z 1 dz ).

C’est ainsi que , par degrés , on s’est élevé à l’intégration deformes différentielles, encore beaucoup plus compliquées ; par

exemple, de celles-ci : A x m dxX a .-+- bx" , ou

Ax m dx x a 4"

c est

ce qu’on nomme différentielles binômes. Il y en a de trinômes,