DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 143

généralement exprimées par A x m dx x a -+- bx" -+- cx 1 " •

Ai'(/jx e-\-fz~" -+- gx~" f . Orjl est d’abord aisé de voir icique lorsque p sera un nombre entier et positif, la puissance

a + bx n &.c. P ou a rfc/ic - " &c. r étant développée parla formuledu binôme de Neuton , sera toute composée de termes qui ,multipliés par Ax m dx ( quelque soit m ) , seront intégrables àpart. Mais il n’en sera pas de même si p est un nombre rompuou négatif. Au reste, si on ne s’est pas élevé jusqu’à leur inté-gration dans tous les cas de valeurs différentes de m, n , p,on a détermine' du moins les valeurs respectives de ces exposans,qui permettent l’intégrabiiité , ou absolue , ou au moins par lessections coniques. On peut voir sur tout cela les ouvrages deceux qui ont traité du calcul intégral , celui de M. Bougainville,surtout, les Elémens du calcul intégral, des PP. Leseur etJacquier, et nombre d’autres , comme l’excellent Traité deSimpson , &c-

Mais il seroit bien laborieux de recourir à priori aux diffé-rentes opérations à faire pour trouver les intégrales de différen-tielles un peu compliquées. C’est pourquoi on en a formé destables. Neuton le premier en a donne une en 1704 dans sontraité de Quadratura curvarum , qu’il a ensuite amplifiée etdonnée de nouveau dans son Traité des fluxions. Elle est diviséeen deux parties, l’une des formes de fluxions ou de différentiellesqui ont une fluente ou intégrale absolue. L’autre de celles dontles fluentes se représentent par des aires de sections coniques.Ainsi une expression différentielle étant donnée on la compare àla forme qu’on lui voit convenir de plus près ; on trouve ainsi lavaleur des indéterminées de la formule , qu’on substitue dans lafluente qui y répond, et l’on a cette fluente. Ce travail de Neutonest un des plus utiles et des plus ingénieux ; on l’a cependantsimplifié dans la suite, comme on le verra lorsqu’on parlera deM. Cotes. Mais il faut auparavant faire connoître une nouvellebranche de ce calcul dont Leibnitz enrichit l’analyse.

Cette nouvelle branche du calcul intégral est celle des fractionsrationnelles.On appelle ainsi des différentielles en forme de fractiondont le numérateur et le dénominateur sont des expressions ration-nelles 5 telle est celle ci xr r l x + d *\ &r - 1 . On ne les avoit

point encore soumis aux règles des intégrations, lorsqueLeibnitz l’entreprit et l’exécuta , sauf quelques degrés de per-fection que lui ont donné des géomètres postérieurs.

Je profite de cette occasion pour remarquer qu’on n’a pastoujours rendu , àcet égard , ainsi qu’à plusieurs autres, assez de