DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 1J7

f )lus en plus simples ou faciles, et nous pourrions renvoyer àeurs ouvrages II manqueroit néanmoins à celui-ci quelque chosesi l’on n’y trouvoit nulle part cette démonstration. C’est pour-quoi nous en donnerons une dans une des notes de la lin dece livre.

M. de Moivre publia ces belles découvertes en 1730 , dansson livre intitulé : Miscellanea anal y tic a de seriebus et qua-draturis. Cet excellent ouvrage , dont il est nécessaire que nousdisions quelque chose de plus , contient les plus savantes recher-ches d’analyse. Il est divisé en huit livres , dans le premier des-quels il expose son nouveau théorème , qu’il démontre dans lesecond Le troisième est particulièrement employé à parcourirles différons cas des fractions rationelles , et môme à y réduirecelles des fractions irrationelles qui en sont susceptibles. Lescinq autres livres traitent d’autres sujets analytiques ; comme laconsidération et la sommation de certaines suites qu’il nommerécurrentes , et d’autres formées selon certaines lois $ divers nou-veaux problèmes sur les jeux de hazard , supplément de son livreTJæ doctrine of chances ; le fameux problème des trajectoireset quelques questions de maxirnis et minimis , sur les mouve-mens des planètes. Nous aurons occasion de parler de ces diversobjets dans la suite de cet ouvrage.

Quoique nous ayons déjà vu un grand nombre de formes dedifférentielles à une seule variable , dont l’intégration a occupéles analystes , nous sommes encore bien loin de les avoir épuisées.Il en est sur-tout une espèce qui se présente fréquemment dansles calculs ; ce sont celles qui se trouvent mélangées de quantitéslogarithmiques et exponentielles. On en a déjà donné une légèreidée dans le volume précédent, en parlant du calcul exponentiel,nouvelle espèce de calcul inventé par Jean Bernoulli. Mais cequ’on en a dit étoit si peu approfondi , que nous avons pensédevoir y revenir ici et entrer dans de plus grands détails.

On a des exemples de ces différentielles dans ces expressions,dxlx 5 xdxlx ■ ~ ; dxllx , ce qui signilie log. de log. x ;ce sont les plus simples. Il y en a de plus composées , comme( Ix ) m- ‘ xdx ; m (/ lx) m ~ l xdx , &c. Il est à propos de donnerune idée de la manière ou d’une des manières de parvenir àleur intégration.

Observons d’abord que si l’on avoit cette différentielle ydx ,on auroit son intégrale égale à xy — S.xdy. On s’en convaincrafacilement en différentiant cette expression , car elle donneraydx-\-xdy — xdyz=ydx. Si donc nous appliquons ce moyend’intégration à la première des formules ci-dessus , dxlx , nous

aurons son intégrale = xl.x — S.xdlx. Or dlxc=-^. Ainsi, cette