ï58 HISTOIRE

intégrale deviendra xl.x ■— S. — = .r/Lr — x. Nous faisons

O X

abstraction de la constante.

En appliquant cette méthode aux formes suivantes , on trou-vera S .xdxl.x — ^L x — x 1 j la troisième aura pour inté-grale l.lx. Celle-ci, m. ( Lx) m ~ 1 ^, traitée de la même manière,

ou en substituant y à Ix , donnera pour son intégrale ( lx) m ;celle de la dernière se trouvera, par le même procédé, égale à( l.l.x ) m : sur quoi il est à remarquer que quelquefois cette in-tégration conduit à une suite infinie de termes ; ce qui annonceque la différentielle proposée n’a pas même d’intégrale finie enlogarithmes.

Il est enfin des formes de différentielles dans lesquelles lavariable entre dans l’exposant d’une quantité , soit constante ,soit variable elle-même. Telle est, par exemple , celle-ci, e x dx,( e étant le nombre dont le logarithme est égal à l’unité ). Cetteforme se présente souvent, et il est à propos de savoir que sonintégrale est précisément e x ; celle de a x ( a étant une quantité

quelconque), est ~ a . Voici encore, pour terminer ce que nous

avons à dire sur ce sujet, une de ces formes de différentiellesà exposant variable ; c’est celle-ci : ze e 'dz ( e étant le nombredont le logarithme est l’unité ) ; on trouvera que son intégrale

est — — — . Mais en voilà assez sur ce sujet. Notre objet n’a

pas été de faire ici un traité du calcul intégral ; c’est pourquoinous renverrons aux ouvrages qui traitent spécialement de cecalcul ; celui de Bougainville nous paroît contenir tout ce qu’onpeut désirer à cet égard.

Il se présente encore quelquefois des formes de différentiellesqui pourroient paroître embarrassantes , et dont il convient dedire ici un mot. Ce sont celles où plusieurs signes d’intégrations’enveloppent en quelque sorte les uns les autres ; telle est celle-ci :

S dx S aJx - , ce qui ne signifie pas qu’il faille multiplier une

intégrale par l’autre ; mais qu'après avoir intégré la secondedifférentielle , il faut la multiplier par la quantité sous le pre-mier signe d’intégration, et intégrer de nouveau. On pourroits’y prendre de cette manière ; mais le moyen le plus simple dele faire est celui-ci , et il est déduit de ce que nous avonsobservé plus haut, savoir que S.ydx=.xy —S .xdy. On trou-vera donc dans l’exemple proposé, pour l’intégrale cherchée,

xS.

(xxt/S.-.^). Or dS.-y^

y xa — zx yaa — xx y uj —

adx\/ aa —

xx