DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. i 5 9Ainsi ce dernier membre de l'intégrale sera S.-A^L - , dont

_ D Y aa — xx ’

l’intégrale est a Arc sin. x. L’intégrale entière sera donc x ,multipliant , c'est-à-dire x multipliant l’arc de cercle au

* y aa — xx

rayon a, dont le sinus et x, et le second est —naV aa —tjt+îc 1 ,en ayant égard à la constante , qui se trouve , en supposantx=o, et doit être prise positivement, d’après ce que nousavons dit vers le commencement de cet article.

Les Géomètres s’estimeroient heureux si toutes les différen-tielles étoient au moins réductibles , comme celles qu’on vientde voir, à des aires circulaires ou hyperboliques ou à des quantitéslogarithmiques ; car ils auroient du moins un moyen facile d’encalculer la valeur par approximation. Mais la nature qui ren-ferme des variétés infinies ne se laisse pas resserrer dans d’aussiétroites bornes. Tout comme enfin il y a une multitude decourbes d’ordres différens , il y a aussi une multitude de dif-férentielles dont l’intégration est d’un ordre plus élevé , et l’onn’a fait jusqu’ici que quelques pas dans cette carrière immense ,dont la profondeur échappera sans doute toiq'ours à l’esprithumain.

Dans l’impossibilité où nous sommes jusqu’ici d’y pénétrerbeaucoup plus avant , on s’est borné à quelques classes de dif-férentielles qui semblent présenter moins de difficultés. Or ,parmi ces différentes classes non réductibles à la quadrature dessections coniques, la première et la plus simple a paru celle desdifférentielles qui se rapportent à la rectification de l’ellipse etde l’hyperbole. C’est pour cela que quelques Géomètres les ontparticulièrement considérées, et ont assigné quelques-unes desfo nues qui s’y réduisent. Le Comte Jules Fagnani, célèbre Géo-mètre italien , nous paroît être le premier qui soit entré danscette carrière , en examinant la rectification de la courbe , connuepar les Géomètres sous le nom de la Lemniscate ; car il faitvoir (1) comment un arc de cette courbe qui est du quatrièmedegré étant proposé, on peut déterminer un arc d’ellipse et und’hyperbole, qui joints ensemble lui sont égaux. Ce mémoire etplusieurs autres du même Géomètre sur cette courbe remar-quable par diverses propriétés singulières , sont dignes d’être lus.

Après lui, M. Maclaurin s’est occupé du même objet dans sonTraité des Fluxions (seconde partie ) , et a donné la manièrede réduire à des arcs d’ellipse et d’hyperbole conjointement unassez grand nombre de formules différentielles , telles que

(0 Giornaîe de’i litterati d’Italiae. tom. 34.