H I

160

S T 0 I R E

celles-ci dx ŸL

y 1 +

dx

dx

dx

]/x]/i

-u

dx\/x

et di-

xx 1 ± xx* ' i + xx* \é xx + îcx + bb *

verses autres. Mais ensuite M. d’Aleinbert a considérablementaugmenté ce nombre , dans ses deux mémoires sur le calculintégral , qu’on lit parmi ceux de l’académie de Berlin , desannées 174(1 et 174b. H seroit extrêmement long de les faireconnoître ; c’est pourquoi nous nous bornerons à quelques-unes

des plus simples, telles que ces deux —.~ ix ŸjL —* — d x - - -

1 ri 1 y/ a + i, x + cx ‘ y' x y/ a+ t, x + cx >’

Leur réduction à des arcs d’ellipse et d’hyperbole conjointement,a lieu , quelque soient a , b , c , savoir positives ou négatives,pourvu toutefois que les racines de l’équation a bx -+- cx x = osoient réelles. Au défaut des mémoires de l’académie de Berlin,on peut voir le Traité du Calcul intégral , de Bougainville.

Voici une autre formule différentielle , qui a beaucoup occupéle P. Vincent Riccati, et qui fait la matière d’un de ses plus con-sidérables opuscules (1), ouvrage pour le remarquer en passant ,qui contient une foule de choses propres à justifier la réputationdont il jouissoit parmi les Géomètres italiens. Cette formule est

celle-ci ix ^/fg x l , qui présente un grand nombre de cas, suivant

que f, g , p , q sont positifs ou négatifs, et suivant leur rap-port entre eux. Il fait voir que suivant ces valeurs et ces rap-ports, l’intégrale de cette formule est, tantôt un arc d’ellipse,tantôt un d’hyperbole qu’il assigne ; quelquefois il faut un arcd’ellipse joint à un d'hyperbole ; quelquefois enfin cette ellipseou cette hyperbole devient imaginaire , dans lequel cas la diffé-rentielle proposée n’a point d’intégrale.

Terminons ceci par un mot sur M. Landen , qui s’est aussibeaucoup occupé de cet objet. Ce Géomètre nous a donné dansun article de ses Mathematical Lucubrations , une suite detliéoremes , dont voici quelques-uns. Si e , dit * il , désigne un

quart d’ellipse dont les axes sont 1 et V 2, et f un quart decirconférence circulaire au rayon 1 , on aura la fluente ( ouintégrale) entière (c’est-à-dire lorsque x devient = 1 ) de

rfyj/r — 'Ve 1 —if ; celle de — d x . sera e -t-V e 1 — if ;

celle de dx V f + zx sera y e * — 2 f & c ., &c. M. Landen , à

la vérité , ne démontre pas ces théorèmes ; mais sa réputationparmi les analystes ne doit pas laisser de doute sur leur vérité.

(') Vincentii Riccati S. J. Opuscula ad res physicas et mathematicaspertinentia. Lucae. 1757— 177a , tom. II,

Je