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cette série est fort peu convergente, son usage est le plus souventnul. On ne peut même , par ces raisons , lui appliquer les règlesimaginées par quelques géomètres, pour en hâter la convergence.

11 est vrai qu’on a encore trouvé quelques séries pour calculerlalongueur du quart d’ellipse,plus commodes que celle que donneimmédiatement le calcul intégral. MM. Simpson et Lambert ontmontré, chacun à sa manière, que si le demi-grand axe de l’el-lipse est=û:, le demi-petit axe = é, conscquemment la demi-

excentricité = V« 2 — b 1 = a y qu’on nomme enfin1 arc du

quart de cercle décrit du rayon =<z ; ils ont, dis-je, montréque le quart d’ellipse correspondant étoit égal à cette suite

70 ( 1 -^-

JL2. g* _L_ 9 L *>'>.

4 16 4.» 6 3 6_,

« .'9 a T 49-9

4. J 6 3 6-64 ’

4.» 6 3 6-6

dont la progression est facile à appercevoir , et même élégante.Mais cette sérié est encore médiocrement convergente , à moinsque e ne soit beaucoup au-dessous de l’unité. Car appliquons làà une ellipse dont les axes soient comme r à ~ ; on aura alors

a=i. b = ~ é 1 —-. Ainsi la série seraH( i——■— TJT4ïTf6 » ) t ou en fractions décimales ^ ( i

i 7 i i i S __

ioa 4 > 474 5 6

— 0.1875000

— 0.0263672 — 0.003379 — 0.008239 , &c. ) , dont la conver-gence est médiocre dès le quatrième terme. D’ailleurs , c’estmoins d’un quart d’ellipse qu’on a besoin le plus souvent, qued’un arc d’ellipse indéfini 5 car c’est à des arcs d’ellipse de cetteespèce que se réduisent le plus souvent les intégrales des diffé-rentielles ci-dessus. Or si l’on applique à l’arc indéfini la mé-thode qui a donné la série ci-dessus, on trouve à la vérité unesérie , mais dont chaque coefficient est lui-même une série in-finie ; en sorte que de tout cela , il ne résulte presque rien quisoit applicable à la pratique. Il seroit en conséquence utilequ’on eût une méthode plus facile d’approcher de la grandeurd’un arc quelconque d’ellipse donnée.

Il en est à-peu-près de même de la rectification de l’arc hyper-bolique. La série de l’arc tirée de l’équation entre les coordonnéesrapportées à l’axe transverse est précisément, aux signes près ,de la même forme que celle pour l’ellipse et a les mêmes incon-véniens. Lors néanmoins qu’il s’agit de l’hyperbole équilatère ,qui est à l’égard des hyperboles en général ce que le cercle est àl’ellipse , il y a un remède. C’est de chercher la longueur de l’arcpar l’équation de la courbe rapportée à son asymptote : capnommant ( fi g. 46) CA = ü, et CB = r, on a l’équation

y~ — t ce qui donne, d’après les opérations connues , la série

a 4 a 8

T-+

I. 5. a”3 , 4 . 6 . 8 . 11 .x 11 )

&c. La loi est assez manifeste

x

2 . J. X