V

DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. r63et même élégante pour ne pas échapper , et cette série seratoujours d’autant plus convergente, que x surpassera davantagea. Mais il faut remarquer ici que , quelle que soit x , pouravoir , par exemple , l’arc D E , il faut retrancher de cette sériece qu’elle devient lorsque x = a.

Supposons , par exemple , a = i et CB ou j = on aura

l’arc DE =2 — fî-t -

: <SCC. 1 4 s 4 "t" ï a g “ } 1 4 &C.

ce qui donne en fractions décimales i.i3z5.

C’est une chose assez digne de remarque , que les rectificationsdes courbes soient en général d’un degré de difficulté plus grandque celui des quadratures , et celles-ci souvent plus difficiles quela mesure des surfaces et des solides de circonvolution ; car laparabole, par exemple , est absolument quarrable , et sa recti-fication dépend de la quadrature de l’hyperbole. La quadraturede l’ellipse est du même degré que celle du cercle, et sa recti-fication d’un degré de difficulté supérieur , tandis que la mesurede ses solides de circonvolution et de leurs surfaces n’est que dupremier ; il en est de même de l’hyperbole.

J’observe enfin , pour terminer cet article, qu’il y a encorebien des formes de différentielles , même assez peu compliquées,qui ne se rapportent ni aux quadratures du cercle ou de l’hy-perbole , ni même à la rectification des sections coniques. On

en a un exemple dans cette différentielle adx j~=L==^, qui

exprime l’élément de la surface d’un cône oblique , dont laperpendiculaire, tirée du sommet sur la base , tombe sur la cir-conférence du cercle base, le rayon de ce cercle étant a , l’abs-cisse x prise sur le rayon à partir du pied de cette perpendi-culaire , et b la hauteur. Voilà un cas de la Géométrieélémentaire, qui est presque inaccessible à la Géométrie la plustranscendante.

On pourra me demander ce que dans pareils cas il faudra faire.Je répondrai qu’au défaut des séries qui, dans ce cas, sont pres-que toujours ou trop compliquées ou trop peu convergentes, iln’est rien de mieux que de recourir à la méthode différentiellede Neuton. On y verra qu’un petit nombre comme trois, quatreou cinq ordonnées d’une courbe étant calculées, donnent pluspromptement et avec pins d’exactitude son aire qu’un très-grandnombrç de termes d’une série à laquelle on la réduiroit.

XVI.

Nous voici parvenus au second et plus difficile des deux casindiqués plus haut, à celui dans lequel il s’agit de différentielles

X x