DES MATHEMATIQUES. Parx. V. Liv. I. j67Log. (x m y n — y m+n ') -+- c. Il ne seroit, au surplus, pas dif-ficile à quelqu’un médiocrement versé dans ces calculs , de voirtout de suite que le numérateur de l’expression proposée estexactement la différentielle du dénominateur. Mais en voilàassez sur ces détails élémentaires de calcul , qu’il faut voir dansles livres qui en traitent. Les Lectiones calculi integralis, deJean Bernoulli ( Operurn tom. 3 ) , en sont remplies , et ils ysont presque toujours appliqués à des exemples de problèmesgéométriques.

Mais lorsqu’une équation différentielle est fort compliquée ,il est rare d'appercevoir si elle est intégrable , et il seroit quel-quefois si laborieux d’essayer de l’intégrer , qu’il étoit fort utiled’avoir quelques moyens de reconnoître si la chose étoit possibleou ne l’étoit pas , avant de tenter cette intégration. C’est l’objetqu’a eu M. Ciairaut dans un mémoire donné à l’Académie desSciences en 174° > oh il rend la justice à MM. Euler et Fon-taine , de remarquer qu’ils y étoient aussi arrivés chacun de soncôté. Ciairaut y démontre que si l’on a une équation différen-tielle du premier ordre exprimée généralement par ces deuxtermes Adx-+-B dy. ( Par A on entend tous les termes qui mul-tiplient dx , et par B tous ceux qui multiplient dy , ou en termesusités aujourd’hui A et B sont chacune des fonctions de x , yet de constantes ) ; Ciairaut , dis-je , fait voir que dans unepareille équation si on différentie A en ne faisant varier que yet qu’on divise par dy , on aura la même expression qu’en dif-férentiant B avec l’attention de n’y faire varier que x , et dediviser ensuite par dx. Un exemple assez simple suffira ici pourfaire comprendre cette règle. Qu’on ait l’expression ay m y n , sadifférentielle sera amx m ~'y n dx-*-any n ~ l x m dy. Ici donc A estamx m ~'y n t et Best any"~'x m . Or, qu’on différentie de nouveauces deux quantités, en faisant varier dans A la lettre y , et dansB la lettre x , et qu’on efface dans la première dy et dans l’autredx , on a le même résultat n. max m ~'y n ~'. Quiconque a diffé-rencié des variables se multipliant l’une et l’autre , doit mêmesentir par le procédé de l’opération , que cette égalité est néces-saire. Mais Ciairaut le démontre d’une manière directe. Cetterègle est exprimée plus brièvement par ces espèces de sym-boles : si la différentielle A.dx-^-'&dy est intégrable , il faut que

1 c’est-à-dire la différentielle de A , en faisant varier

seulement y, et divisant par dy , sera égale à la différentiellede B , en faisant varier seulement x , et divisant par dx. Ciairautfait voir de même que si l’on a une différentielle à trois va-riables x , y , z , exprimée ainsi , A dx -t- Br/y -+- Cdz , pourqu’elle soit intégrable , il faut que ces trois équations se véri-