1 66 HISTOIRE

affectésdu signe dans l’un desquels une variable sera multipliéepar la différence de l’autre , et dans l’autre vice versâ , on enconclurra que l’intégrale est leur produit.

La fraction x - — a étant différentiée, prend cette forme

yiX ~y*~ ' m ~ ° ’ et cons ^ < î uemment: » en multipliant parjy^y , ce qui

ne change rien à l’équation, on a tout simplement ydx — xdy—o.Lors donc qu’on aura une forme semblable , il 6 era probableque la différentielle viendra d’une fraction ; et dans une formecomme la dernière , suppléant le dénominateur yy , on aura

= à une constante que la nature du problème détermine or-dinairement. Il y a même toujours dans cette forme de diffé-rentielle un multiplicateur qui la rend intégrable. Car si l’on aoydx — xdy, ou ydx — 2 xdy, ou en général mydx — xdy — O,en la multipliant par x m ~ l , on aura la différentiellemyx m ~' dx —■ x m dy = o j où suppléant encore le dénominateur

y y , on aura l’intégrale y= une constante ; car différentiant,on trouve x ~*" J y = a = 0 ; ce qui, divisé par x m et mul-

tiplié par yy , donne enfin mydx—dy , ou mxdx=.^~\ parconséquent ~ = log. y dr c , où c est une constante à déter-

miner suivant les conditions du problème.

Ainsi, pour en donner encore quelques exemples , ayant la dif-férentielle on aura son intégrale égale au logarithme

hyperbolique de x -4- y ; car supposant x -+- y — z , on auroit

la précédente différentielle égale à —, que nous avons vu dans

l’article précédent être celle du logarithme de z. Cette subs-titution est , dans bien des cas plus difficiles que les précédens ,un fil secourable pour simplifier des différentielles compliquées,qui par là se réduisent à des formes simples , dont l’intégrationse présente au premier coup d’œil. Si l’on avoit , par exemple ,

cette différentielle SZ‘ x "'" Jx t."- r + m} y^'Jl pour

l’intégrer,on tenteroit de la simplifier,en supposant x m y n — y m+n —z%et cela réussiroit , car on trouveroit, en différentiant cette ex-pression , tout le numérateur de la différentielle proposée , égal

à dz , et conséquemment cette différentielle égale à dont,

l’intégrale est logarithme de z ; et conséquemment, si l’on remetau lieu de z sa valeur, on aura pour l’intégrale cherchée ,