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que si à sa place on écrit z , et qu’on l’ordonne à la manièreaccoutumée , on aura z 4 -+- z* — bz — a =z o. On pourra doncavoir toujours par la résolution de cette équation, la valeur ou

les valeurs de z ou ^ enj et constantes ; ainsi cette valeur étant

égalée à donnera dx — zdy, où z ne renferme que des yet des constantes ; ainsi l’or aura d’un côté dx , et de l’autretous les dy et -y , ce qui est l’origine de la règle de M. Bernoullipour pareil cas.

Il est î isé de voir par-là pour quelle raison il faut que l’unedes deux indéterminées finies, manque. C'est afin d’avoir la

■valeur de ^ en l’une des deux seulement, ce qui sépare néces-sairement les indéterminées. Mais lorsqu’il y a à-la-fois deuxvariables , il est clair qu’on ne peut avoir la valeur de ^ qu’en

x et y mêlées ensemble. Il faut, au surplus, observer ici quedans ce cas même , on a trouvé le moyen de parvenir à l’inté-gration , mais il a fallu y employer une méthode particulière quenous aurons peut être occasion de faire connoître dans la suite.

Jean Bernoulli a fait un pas considérable dans cette car-rière , en montrant d’abord que toutes les fois qu’on a une ex-pression différentielle du premier ordre , dans laquelle la sommedes dimensions de x et y , qui affectent les dx et dy , montentau même degré dans tous les termes, la séparation des indéter-minées est l’ouvrage d’une simple substitution ; telles sont, par

exemple, ces différentielles : ax 1 -t- xy dx = by l -+- x 1 dy , ou

ax +y dx _ __ by + x iy ' / dans ces expressions et autres semblables ,

y XX +yy y xy—yy

les lettres a et b ne doivent exprimer que des nombres ). Danstoutes ces équations , dis - je , la séparation des indéterminéesest possible. L’artifice de cette séparation consiste en ceci : sa-voir , à supposer l’une des deux variables, x , par exemple ,égale à y multipliée par la variable z , en sorte qu’on aitx =yz. Substituant ensuite au lieu de x et dx , leurs valeurs ,les variables se séparent comme d’elles-mêmes. Ainsi , dans lapremière des équations ci- dessus , au moyen de cette substitu-tion . on trouvera — — ~^--}dz , où les indéterminées sont sé-J y 7

parées. L’intégrale du premier membre sera log. y , et celle dusecond se trouvera par la théorie de l’intégration des fractionsrationnelles dont il a été question dans l’article précédent. Ayantdonc enfin la valeur de z et celle de y, on aura celle de x,puisque zy = x.