DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 173

Bernoulli ne s’est pas borné à ce moyen , il a montré dans unmémoire qu’on lit dans le premier volume de ceux de Péters-bourg , ou dans le troisième de ses oeuvres , qu’on peut aussidans pareil cas intégrer sans séparation préalable des indéter-minées. Ces expressions ou équations différentielles qui se trou-vent dans ce cas , et qui sont aussi dans le précédent, sontexprimées ainsi :

ax -4- by. dx -4- ex -4- ey. dy ■=. o.

ax 1 -4- bxy -4- cy *. dx - 4 - ex 1 - 4 - fxy - 4 - gy'. dy = o.

ax 3 -f 6 x*y -f- cy 1 x -f- ey J dx -f-/ic 3 + + hxy + >y 3 ) dy = o &C.

ce qui suffit pour montrer leur progression, et où il faut observerque les lettres a, b, c, d , &c., ne deviennent que des nombres, quipeuvent , suivant les circonstances , être =0. Mais cette der-nière méthode n’est pas de nature à pouvoir être expliquée ici.Il faut lire ce mémoire, recommandable par sa précision et sanetteté, ainsi qu’une addition qui se trouve dans le quatrièmevolume de ses oeuvres.

Toutes les fois donc qu’une équation différentielle sera ainsiconstituée , c’est-à-dire homogène , suivant la dénominationdonnée par Bernoulli, elle sera susceptible et de séparation desindéterminées et de construction géométrique. Mais si elle n’estpas homogène que doit-on en penser. Doit-on prononcer qu’ellen’est intégrable en aucune manière ? Non ; il y a des cas limitésoù elle l’est encore, et l’on y parvient par des transformationsde l’une des deux indéterminées , qui servent à faire connoîtreles rapports des exposans des deux variables qui permettent deréduire l’expression à l’homogénéité. Ces artifices sont expliquésdans divers ouvrages, et en particulier dans le traité de calculintégral de Bougainville.

Nous n'avons encore parlé que des différentielles du premierordre où il n’y a que deux variables ; c’est le cas le plus com-mun ; souvent néanmoins il y en a trois comme dans les pro-blèmes relatifs à une surface courbe. Il n’a pareillement encoreété parlé que des différentielles où les dx , dy sont au premierdegré , et ne se multiplient pas. Quelquefois cependant et mêmesouvent elles se multiplient ensemble , comme dans celle - ci,xxdx^d .: xydxdy — aady ï . C’est encore un rameau de cettebranche secondaire du calcul intégral , par où l’on peut jugerde l’immensité de ce calcul. Mais nous n’avons pas entreprisd’en donner ici un traité. Nous ne pouvons le plus souvent etsurtout dans une matière aussi sèche et épineuse , qu’indiquerles principaux points des recherches des géomètres , et les livres