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C’est par degrés , comme dans les autres parties des Mathé-matiques, qu’on s’est élevé à ce qu’on sait aujourd’hui sur cesujet. Jacques Bernoulli proposoit à la fin de 1 6 y 5 ( 1 ) ce casd’équation différentielle yX dx -f- by n X ' dx — ady =o , danslaquelle X,X' sont des fonctions différentes de x et de cons-tantes, et a et b des constantes. Il demandoit les moyens d’enséparer les indéterminées. Leibnitz ne tarda pas de répondresommairement à la question , en annonçant que cette équationpouvoit se réduire à Z du -\-% r udz , ou Z.Z'.Z" sont des fonctionsde zet de constantes, et que de cette dernière il étoit en état d’enséparer les variables et d’en réduire la construction aux quadra-tures. Cela montre qu’en effet il étoit en possession de la clefdu problème ; car cette réduction est une des voies qu’on peutprendre pour le résoudre. Jacques Bernoulli se borna aussi àindiquer sa solution , qu’il réduisit à un problème analogue àcelui de Beaune , dont il donnoit la construction par un mou-vement continû (2). Mais Jean Bernoulli est celui qui en adonné la solution la plus instructive et la plus développée. C’estpourquoi nous la ferons connoître dans une des notes qui sui-vront ce livre. Il nous suffira de donner une idée de sa mé-thode. Elle consiste d’abord à supposer l’une des variables y ,égale à mz , ( m et z étant deux nouvelles indéterminées ). Cettevaleur étant substituée dans l’équation proposée , il en résulteune nouvelle à quatre termes dont il égale deux , ce qui lui estpermis à cause de la double indétermination de m et de z. IIen résulte une valeur de z en r, qui étant substituée dans lestermes restans , opère la séparation des indéterminées, et donneune valeur de m en x j or l’on avoit fait y=mz. Conséquemmentce procédé donne la valeur de y , égale au produit des deuxfonctions de x, trouvées pour m et z.

Plusieurs autres Géomètres enfin se sont essayés sur ce pro-blème analytique. Craige l’a fait dans son traité de Calculofluentlum. Mais une des solutions les plus élégantes est celle queMaupertuis a donnée dans les Mémoires de l’Académie de 17 .

Mais quoique la formule précédente soit des plus étendues, ils’en faut cependant bien qu’elle comprenne tous les cas deséquations à trois termes et à deux variables. Cette équation géné-rale est en effet celle-ci : A.Xy"dy-\-^$X , y n+ 'dy-\-C,y t X" dx ,dans laquelle X.X'.X" sont des fonctions de x seulement et deconstantes , et A. B. C. des constantes.

Jean Bernoulli est aussi parvenu, par une substitution sem-blable à la précédente à l’intégrer , ou du moins à séparer les

(1) Acta eruditorum hipsiensia . Probl, Beaunianum generalius con-snn. 16^5. ceptum Acc, Lips.

variables ,