DES MATHÉMATIQUE S. Part. V. Lrv. I. i 77variables, au moyen d’une substitution semblable à la précé-dente ; mais d’Alenibert en a donné une autre solution plus géné-rale , et qu’on doit voir dans l’ouvrage de Bougainville , où l’onpeut voir aussi comment et dans quels cas cette solution s’étendmême à ceux où X.XLX" sont des fonctions de x et y. Maisjusqu’à présent ce dernier cas dans sa généralité a échappé auxefforts des Analystes.

Il y a parmi les équations de cette forme un cas particulier quia eu de la célébrité pendant un temps , et qui a fort occupé lesAnalystes. 11 y en a peu qui n’ayent essayé leur sagacité , ou àtenter de la résoudre généralement, ce qui paroît jusqu’à présentimpossible , ou du moins à trouver des cas où elle est inté-grable ou constructible. C’est celui où l’on suppose , ce

qui réduit l’équation générale citée plus haut à celle-ci aæ m y p dx•*r-byyx n dx-=.dy. On la nomme l’équation de Riccati, parceque son intégration , ou les conditions de son intégrabilité ont étépour la première fois proposées par le comte Riccati, géomètreitalien, dans le tome VIII du supplément des Acta eruditorum ,( 1722). Les quatre célèbres Géomètres , MM. Jean Bernoulli ,Nicolas son neveu , fils de Jacques ; Daniel et Nicolas ses deuxfils , s’en occupèrent à l’envi et en trouvèrent des solutions ,c’est à-dire , les rapports des exposans m. n. p. , qui permettentla séparation des indéterminées. C’est ce qu’annonça bientôtaprès Daniel Bernoulli, en donnant sa solution sous des lettrestransposées, afin de laisser à d’autres Géomètres le plaisir d’yessayer leurs forces. En effet, M. Christian Goldbach , depuisl’un des premiers membres de l’Académie de Pétersbourg , et ana-lyste moins connu qu’il ne méritoit de l’être , la trouva aussi versle même temps, et la donna dans les Mémoires de cette Aca-démie ( T, 1 . ) avec quelques additions intéressantes. Il y a dansces mémoires quelques autres écrits de cet analyste sur des casparticuliers de calcul intégral , qui justifient ce que je viens dedire. On lit encore dans les mêmes mémoires la solution deNicolas Bernoulli, fils de Jean. Il résulte de toutes ces solutionsentièrement concordantes , qu’il y a une infinité de cas oùl’équation proposée est intégrable , savoir tous ceux où la valeur

de n est exprimée par cette formule — ^ , h étant un

nombre positif et entier quelconque, à commencer par l’unité,et n un autre quelconque entier ou fractionnaire. Du reste , ily a apparence que l’équation n’est point susceptible d’une ré-duction générale. Sans prendre la peine de recourir aux dif-férentes pièces indiquées plus haut, on peut consulter le Traitédu calcul intégral de Bougainville , où l’on trouve un précistrèsclair de tout ce que présente ce problème analytique.

Tonte III, Z