178 HISTOIRE

Ce que l’on a fait sur les équations à trois termes indiquéesci-dessus , on l’a fait aussi sur celle à quatre termes , telle que lasuivante x m dx ^-by r x n dx-\-cy'dx-\~ady—o , à laquelle toutesles autres peuvent être réduites. Je veux dire qu’au défaut d’uneintégration absolue , dont elle n’est pas généralement suscep-tible , on a examiné les cas dans lesquels l’intégration ou dumoins la séparation des indéterminées peut avoir lieu. On doitprincipalement cet examen à M. Bernoulli. Elle sera susceptibleet de séparation des indéterminées , et de construction si elle esthomogène. Mais si elle ne l’est pas, que doit-on en penser ? doit-on prononcer qu’elle n’est intégrable ni constructible en aucunemanière ? Non. Il y a des cas , à la vérité , limités , où ellel’est encore , et l’on y parvient par des transformations adroitesde l’une des deux indéterminées , afin d’abaisser les puissancestrop élevées , ou élever celles qui ne le sont pas assez, pour quel’équation devienne homogène. On peut aussi, par une suppo-sition de nouvelles variables et de rapports de coefficiens, faireévanouir certains termes , au moyen de quoi une équation àquatre termes se réduit à une de trois, ce qui en allège la diffi-culté. C’est par de semblables artifices que M. Goldbach , dontnous avons parlé plus haut (1), et M. Herman (2) , et enfinM. Nicolas Bernoulli ( 3 ), sont parvenus à réduire des équationsdifférentielles qui avoient jusqu’alors éludé les efforts des ana-lystes, et qui avoient passé pour irréductibles ; telles que celles-ci aydx -4- bx n dy -J- cx"~' dx r=. dy. ou adx bdy -f- cxdx-+- cydx -+- fxdy gydy , ou ax m dx + byx T dx •+■ cydx•=.dy, &c. , et diverses autres du même genre. La première deces équations est même toujours intégrable en termes finis.Quant aux autres on a aujourd’hui des méthodes , à l’aide des-quelles on parvient à déterminer l’espèce de transformation quidoit réussir ou faire reconnoître son impossibilité. On ne peutmieux faire que de recourir pour en prendre une idée au Traitédu calcul intégral de Bougainville ( T. II) , ou aux Elémensdu calcul intégral des PP. Leseur et Jacquier.

Quoique enfin, l’on n’ait point de méthode générale et infail-lible pour intégrer ou séparer les indéterminées dans les casautres que ceux que nous avons indiqués plus haut , il y acependant certaines formules, ou expressions très-générales danslesquelles réussit cette séparation. Les géomètres les ont remar-quées avec raison , et s’ils ne sont pas encore parvenus à saisirle tronc entier, du moins ils en embrassent quelques branchesconsidérables.

(1) Comm, acad. Petropolitanae.tom. I.

(î) Ibid. tom. II.

(3) Ibid, et passim .