DES MA THÉ AMTIQUES. Part. V. Liv. I. 181

dx = pdy , l’équation ci-dessus devient y = px -+■ aV 1 -*-pp ,qui quoique en apparence une équation en termes finis , n en

est pas moins une équation différentielle, à cause de p = ^.

Or si l’on différentie de nouveau cette équation, on a

dy = pdx -+- xdp -+- —0L=. ; ce qui, à cause de dy = pâx ,

donne o = xdp

V' i +pp

apdp

; et divisant par dp , x = —

ap

ydi+pp ’ " ' r r ’ v / i+pp t

Enfin , si dans l’équation ci-dessus , y = -+- aV 1 -t- pp , on

met au lieu de px sa valeur , on trouve y = - Or , au

1 V i +pp *

moyen de ces deux valeurs de x et y , éliminant p, ce qu’on

fera en les quarrant et les ajoutant, on trouvera enfin xx-t--yy=zaa t

ce qui est l’équation au cercle. Le cercle est la courbe cherchée,

ce qu’au surplus on auroit pu voir facilement. Mais il y a une

autre solution , savoir la ligne droite menée de manière à ce que

la perpendiculaire tirée sur elle du point donné, soit de la

grandeur donnée , ou pour mieux dire, il y en a une infinité

qui satisfont également au problème. Elles sont contenues , au

apdp

surplus , dans l’équation différentielle xdp •

V *+pp

= o ; car

elle donne dpz=. o j d’où il suit que p = à une constante quel-conque n. Or la courbe dans laquelle le rapport ^ est cons-

tant , est une ligne droite j et à cause de l’indéterminée n ç uneinfinité de lignes droites y satisfera.

Il étoit encore possible dans l’équation proposée ci-dessus,d’employer l’intégration ordinaire ; mais si , au lieu de cette

différentielle, on eût eu celle-ci : ydx -t- xdy = aV dx 3 dy\ou plusieurs autres que se propose Euler , ou auxquelles il estconduit par des problèmes géométriques qu’il se propose, il n’ya nul doute qu’il seroit impraticable de s’en démêler, tandis quesa méthode y conduit et fournit des solutions complettes.

Le paradoxe qu’on vient d’exposer avoit été observé , commeon l’a dit ; mais indépendamment de ce qu’Euler en donne undéveloppement lumineux , il en remarque un autre, savoircelui-ci. Il consiste en ce qu’il y a des équations différentiellesdont on peut trouver une solution qui, cependant, n’est pascontenue dans la solution générale. Qu’on ait, par exemple ,

cette équation différentielle xdx •+• y dy = dy\dxx -h- y y — aa til est aisé de voir que la supposition de xx •+■ yy = aa résoutcette équation en la faisant toute évanouir ; et comme