DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. i 85savoir que A, B , C, &c. fussent des quantités constantes. C’estle Cit. Lagrange qui a surmonté cette difficulté par une méthodeet des théorèmes qui font voir quand et comment cette équationest résoluble , et quelles sont les conditions sous lesquelles elles’y refuse. Mais le lecteur trouvera bon que nous le renvoyonsaux sources , c’est-à-dire , soit au mémoire même du citoyenLagrange (i), soit aux traités divers du calcul intégral qui ontparu depuis quelques années , et parmi lesquels celui du Cit.Cousin entre à cet égard dans de grands détails.

Le célèbre Euler a fait faire dès 1728 au calcul intégral ungrand pas par ses recherches sur ce sujet, imprimées dans letroisième volume des anciens mémoires de Pétersbourg (2). Onconnoissoit déjà cette propriété des équations différentielles dusecond ordre de pouvoir être réduites au premier, lorsqu’ilmanquoit dans l’équation au moins une des variables , commedans celle-ci ¥dy m — Qdu u dzdu’ , ~'ddu y où P et Q signifient seu-lement des fonctions de y et de constantes. Car à cause de l’ab-sence de u , du second membre de l’équation , si l’on fait du=zdyon aura ddu = dzdy , et dy étant supposé constant, la substi-tution de cette valeur au lieu de du et ddu , réduit finalementl’équation à celle-ci Pdy-hQz"dy -+- z" -1 dz — o.

Euler dans le mémoire cité, enseigne aussi le moyen de ré-duire à des différentielles du premier ordre trois espèces du second.

L’une est celle des équations qui ne consistent qu’en deuxtermes, comme celle-ci x m dx p =y n dy p ~' l 2 ddy , où dx est constant.

La seconde , celles où ( dx étant de même constante )chaque terme ( quelqu’en soit le nombre ) présente le mêmenombre de dimensions , comme cette équation générale ,ax m y~ m ~ l dx p dq*~ p -+- bx n y~ n ~' dx , dy ï ~‘ I = ddy , où le nombredes dimensions est le même , savoir l’unité , et à laquellese réduisent une foule d’équations particulières , commey m+ 'ddy = x n dx *, xdxdy — ydx’ 1 —y*ddy , y*ddy — xdxdy ,la dernière desquelles , quelque simple qu’elle paroisse , Eulerobserve n’avoir pu lui-même , ni personne avant lui, réduireau premier degré , avant l’invention de sa méthode.

La troisième forme d’équations différentio - différentielles àlaquelle s’étend la méthode d’Euler , est celle où , dans chaqueterme , l’une au moins des variables , ou seule ou avec sa dif-férentielle , s’élève à un même degré, comme dans celles-ci:axdy’ > -\-bx~'dx 1 dy=cdxddy, ax 1 dy’ L ddy-\-bx~ l dx 1 dy=z.cdx*ddy&c., ou plus généralem'. celle-ci Vx m dy m ^-\-Q_x m ~ h dx h ay—dx m ddy,

(1) Méritoires de Berlin , ann. 1771.

(2) Nova mechodus innumerabiles equationes secundi gradus reducendi ad«quationes primi gradus. Novi comm. Acad. Petrop. tom. III.

Tome 111, A a