186 HISTOIRE

dans lesquelles les dimensions de x , ou de x et dx combinées,sont les mêmes , et P , Q des fonctions de y seulement, oude y et de constantes.

La manière dont Euler parvient à l’abaissement de ces équa-tions, est de supposer x— c au ely=:c u t (c étant le nombre dontle logarithme est l’unité , et u et t de nouvelles variables). Il subs-titue ensuite au lieu de x et dx ;yydy , ddy , &c. leurs valeurs ,et au moyen de quelques artifices adroits de calcul, il fait dis-

K roître la seule différentio-difïerentielle ddt qui se trouve dansquation ; ce qui la réduit au premier degré. 11 observe néan-moins que fréquemment ces équations différentielles du premierdegré, retombent dans le nombre de celles qui ont encore éludétous les efforts des analystes ou du moins au temps où il écri-voit ceci.

M. Euler observe enfin qu’une méthode semblable peut servir ,les mêmes conditions ayant lieu, à abaisser une équation diffé-rentielle du troisième ordre à une du second , et même généra-4 lement d’un ordre n k un ordre n —1. Mais on ne peut se dis-simuler quant paucae apparent nantes in gurgite vasto , quisoient dans ce cas : c’est néanmoins toujours un pas vers la so-lution , quelque peu d’apparence qu’il y ait qu’on aille jamaisbeaucoup plus loin.

Ceux qui ne sont pas à portée de consulter le mémoire deEuler, ou ses Institutiones calculi integra Lis , peuvent recourir àl’ouvrage si souvent cité de Bougainville , où l’on trouve unexposé aussi clair que concis de cette méthode.

Obligés de nous restreindre , nous ne dirons que quelquesmots sur les équations différentielles d’un ordre supérieur ausecond. Il est aisé de sentir que si la difficulté de ces dernièresl’emporte de beaucoup sur celles du premier ordre , cette diffi-culté doit être incomparablement plus grande à l’égard des ordresplus élevés. On peut même dire que hors quelques formes parti-culières et quelques cas, l’analyse est à-peu-près en défaut à leurégard.

Parmi ces formes particulières , il en est cependant quelques-unes qui se prêtent facilement et comme d’elles-mêmes , à selaisser abaisser à un ordre inférieur. Ce sont, par exemple , dansle troisième degré celles qui ne renferment aucune différentielleinférieure au second degré ; et de celles-ci une seule au plus ,car alors il est aisé de voir qu’une pareille équation est cons-tituée à l’égard de celles du second degré , comme celles dusecond degré où ne se trouve qu’une différentielle du premierà l’égard de celui-ci ; puis donc qu’une équation différentielle dupremier degré est susceptible d’intégration, quand avec des dx,dy, combinées comme l’on voudra, il n’y a au plus que des x