DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Lt V : I. ai 7on aura m -+- rt~ ret mn — s , d’où l’on peut tirer les valeursde m et n.

Or toute série géométrique est susceptible de sommation , c’est-à-dire que si elle va en croissant, on peut, le rang d’un termeétant donné, trouver la somme de tous ceux de la progressionjusqu’à ce terme donné et inclusivement; d’où il suit que toutesérie récurrente est susceptible de sommation semblable , et sila série va en décroissant, on peut avoir non-seulement lasomme de tant de termes qu’on voudra, mais celle de toute laprogression à l'infini.

Moi vre fait aussi voir que si l’on divise l’unité par un polynôme,comme a -t- bx -+- ex 2 -+- dx 3 &c., il en résulte une série ré-currente , dont l’échelle de relation est composée d’autant determes qu’en a ce jralynôme, moins un. C’est ce qu’il démontrepar un procédé fort ressemblant a celui que nous employeronsbientôt pour le même objet. Il trouve enfin par un procédé fortSimple la somme de toute série récurrente d’après son échelle derelation connue; et fait voir comment on peut en sommer unepartie, c’est-à-dire jusqu’à un terme donné , ou à l’infini, si lasérie est décroissante.

Nous devions à Moivre, comme inventeur de cette théorie* / '

intéressante, la justice de présenter ce développement de sesidées , quoiqu’elle ait été depuis fort amplifiée par les géomètresqui l’ont suivi. Nous allons maintenant entrer dans une expli-cation plus approfondie de ce sujet.

Il y a dans toute série récurrente, trois objets à considérer.

Le premier est l’échelle de relation ou la formule d’après la-quelle chaque terme se déduit du précédent ou des préeédens.

Le second est le terme général, ou la formule d’après laquellela distance d’un terme quelconque au premier étant donnée, onpeut exprimer ce terme sans avoir recours aux préeédens.

Le troisième est le ternie appelé sommatoire parce qu’il ex-prime la somme de tous les termes jusques et y compris celui dontla place est donnée.

Mais une vérité fondamentale de cette théorie qu’il faut d’aborddémontrer, c’est que toutes les fois qu’on développe en série unefraction rationelle proprement dite, il en résulte une sérierécurrente, dont l’échelle de relation dépend des coefficiens etdu nombre des termes du dénominateur, ensorte qu’il est tou-jours possible de passer de ce dénominateur à l’échelle de relation,ou de celle-ci au dénominateur de la fraction génératrice de lasérie. Nous avons dit une fraction véritable ; c’est-à-dire dont lenumérateur ne contienne pas de puissance de la variable pluselevée que dans le dénominateur ni même égale : car si celaétoit, le développement ne donnerait plus une série récurrente.ïomelll. Ee