aiâ HISTOIRE

Il faudroit donc , dans ce cas diviser le dénominateur par le nu-mérateur , jusqu’à ce qu’on fût parvenu à une fraction ayant lacondition ci-dessus. Donnons-en quelques exemples , aprèslesquels on verra la démonstration de cette vérité.

Ainsi la fraction rationnelle i -L-^ se développe en celle-ci

1 .— x -+• x 1 — x 3 &c. où l’échelle de relation est — 1 x , ousimplement — 1 , en supposant x — i ; ce qu’on fait toutes lesfois que d’une série algébrique on veut passer à une purementarithmétique. Celle-ci est la fameuse série dont Leibnitz tiroit desconclusions singulières, savoir 1 — i-t-i — i -+- a — i &c. Si

l’on développe en série la fraction on aura, après avoir

fait x =zi, celle-ci 1 + 3+7 + i 5 -t- 3 i &c. dont l’échelle derelation est 3 A — 2B, c’est-à-dire que chaque terme est égal autriple du précédent, moins le double du pénultième. La sériedes nombres naturels 1 + 2 + 3 + 4 &c. est elle-même une sérierécurrente, dont l’échelle de relation est 2— 1 ; ou 2A —B, Adésignant le terme immédiatement précédent et B celui quiprécède ce dernier: elle provient du développement de la fraction

----en faisant ensuite xz=zi. Nous passons à la démonstra-

1 — îx -T* x * +

tion annoncée plus haut.

Nous supposerons, pour simplifier les choses, une fraction

seulement telle que celle-ci nous employerons la

méthode des coefficiens indéterminés, comme celle qui est laplus propre a faire apercevoir la loi d’après laquelle les termesse déduisent l’un de l’autre. Que la série cherchée soit doncA + B.r + Cx’ + Dx 1 + E x* & c., on aura a -+- bx égal àcette suite multipliée par fgx - 1 - hx *. Faisant donc actuelle-ment cette multiplication, et arrangeant en colonnes les coeffi-ciens des mêmes puissances de x ; faisant enfin , selon lesprocédés connus de cette méthode tout passer du même coté >on aura

{Af-\- E fx -+ C/à : 1 -4- D fx y &c,o =: < — a — A gx — B gx 1 — C gx* & c.

I — ox — Anx 1 — B hx z Scc.

Si donc on égale à zéro les coefficiens de chaque mêmepuissance de x , on aura A f —<2 = 0 ou A—- f ; et dans laseconde colonne de coefficiens substituant, au lieu de A, savaleur, on aura B = . Mais il est aisé de voir que les

colonnes suivantes des coefficiens de x* % x J , x A < 5 cc. sont toutes