220 HISTOIRE

moyen de trouver la somme de tant de termes qu’on voudra de

la série.

Et d’abord si la fraction est simple comme 7^, il est aisé devoir que comme elle se développe en une progression géomé-trique , telle que 1 ± x -4- x 2 zh x 3 -t- a: 4 ± x 3 &c., dans la-quelle, lorsqu’on a 1 + x, les termes sont négatifs dans les placespaires, on aura, en nommant n la place du terme cherché, onaura, dis je, ce terme =— x", si n est un nombre pair, ou-4- x n t si n est. impair ; mais dans le cas de 1 — x, ce terme seratoujours x

Mais dans les autres cas, il y aura bien plus de difficultés; fcaril faudr a alors résoudre le dénominateur en ses facteurs com-posans, et la fraction entière en autant de fractions qu’il y aurade ces facteurs, ( nous faisons abstraction des cas où il y en aurad’égaux ou d’imaginaires) on aura par-là autant de fractions

simples de cette forme de chacune desquelles on trouvera le

terme général parce qu’on a dit plus haut. La somme de tous cestermes généraux sera le terme général de la série dans laquelle serésoudra la fraction proposée.

Un exemple est au moins nécessaire ici. Soit la fractionrationnelle - _ , dont le développement donne la série

1 -+- 4 x i/ix* -4- 46a: 5 -+- 146a: 4 &c. ( où l’échelle de relationdes coetficiens est .6 — 6.). Ici la résolution de la fraction pro-posée en ses fractions les plus simples donne celles-ci - ~l ~ et—-L—. Or le terme général de la première est— 2" x n et celui de

la seconde est 2. 3 " x" ; ainsi le terme général de la série en ques-tion sera (2. 3 " — 2* ) x H .

Mais que faudra-t-il faire lorsqu’il y aura des facteurs égaux,ou des facteurs imaginaires; nous voudrions pouvoir entrer icidans ce détail ; mais nous ne le pourrions faire qu’en passantbeaucoup les bornes que nous impose la nature de cet ouvrage.Nous nous contenterons par cette raison d’indiquer 1 ’ lntroductioad analysim injinitorum du célèbre Euler, où la théorie dessuites récurrentes est traitée de cette manière étendue et lumi-neuse qui est propre à toutes ses productions. Nous allons doncpasser au problème de la recherche du terme sommatoire d'unesérie récurrente , ou à la manière de sommer une pareille sérié,St it en entier , soit jusqu’à un terme donné.

Si l’on considère qtie toute série récurrente dont l’échelle derelation est connue, n’est autre chose que le développementd’une fraction rationnelle, on n’aura pas de peine à reconnoîtie