DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. at 9semblables. Ainsi l’on a C f rLB^g-H A h — o. D f — Cg-h BA=o.ou C = B g — A^ ; D=:C^- — B y h, &c. ; c’est-à-dire que C estdéterminé par B et A les termes précédons, comme D par lesdeux qui le précèdent dans le même ordre, et ainsi de suite. Lasérie est donc récurrente et son échelle de relation est gx — hx xou plus simplement g — A , en supposant x = i.

Ainsi, pour en donner un exemple, supposons la fraction

proposée être [ , nous aurons a— i , b— 2 ,f = 1, g= 3 ,

hr=. 2; ce qui donne 1 pour le premier terme, 5 pour le second ,qui sera conséquemment Sx ; l’échelle de relation sera enfinSx — 2x x ou 3 — 2. La série sera donc 1 -t- 5 .r -4- i 3 x 1 zyx 1-+- 6 ix* Scc. , où x étant supposée égale à l’unité, 1 -t- 5 i 3-+- 29-4-61 &c. où chaque terme est le double du précédent ,moins deux fois celui qui précède ce dernier.

Pour peu qu’on ait conçu la démonstration précédente, il estaisé de voir que si le dénominateur eût eu quatre termes, la loide l’échelle de relation ne se fût manifestée qu’au quatrièmeterme de la série, et cette échelle eût eue trois termes; et ainsides cas plus composés.

Etant donnés le numérateur et le dénominateur d’une fractionrationnelle, proprement dite, on pourra donc toujours trouverdans la série qui résultera de son développement, l’échelle derelation de ses termes , et vice versâ, étant donnée l’échelle derelation d’une série récurrente, on pourra revenir à la fractionrationnelle qui l’a produite par son développement : car si l’onfait attention à l’analyse précédente on verra que le premierterme de l’échelle de relation n’est autre chose que le coefficientdu second terme du dénominateur, divisé par le premier termeet pris avec un signe contraire; le second terme de la mêmeéchelle est de même le coefficient du troisième terme du déno-minateur, divisé par le premier. Le diviseur commun de cesdeux termes, ou un de leurs diviseurs communs sera donc lepremier terme ou le terme constant du dénominateur.

Quant au numérateur on le trouvera facilement, au moyen dela méthode des indéterminées : car le supposant /«, ou m -t- nx,oufli-i- nx -+- pa. 7 1 , selon ce qu’indiquera l’échelle de relation,on développera en série la fraction formée de ce numérateur etdu dénominateur connu. Comme donc elle devra être égale àla série récurrente donnée, la comparaison des seuls premierstermes de l’unë et de l’autre donnera les valeurs àe m, n, oude m, n, p, &c.

Un des principaux problèmes de cette théorie est, commeon l’a dit au commencement, celui de déterminer l’expressiondu terme général; car de l’expression de ce terme dépend le

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