DES MATHEMATIQUES. Part. V. Liv. I. 221que la valeur de cette série prolongée à l’infini n’est autre choseque cette fraction elle-même. On aura donc toujours la somma-tion d’une série récurrente , lorsqu’on pourra remonter à lafraction dont le développement l’a engendrée; et cela se pourratoujours quand on connoîtra l’échelle de relation, puisque deses termes dépendent les coefficiens des termes du dénomi-nateur. Quant au numérateur nous avons déjà indiqué la manièredont on peut l’obtenir. Ainsi pour en donner quelqu’exemple,la série 1 -1- ix ■+■ 4-r a -i- jx* -h 11 x 4 &c. étant donnée avec sonéchelle de relation qui est 1 —t— 1 , on aura le dénominateur1 — x — xx. Le numérateur se trouvant par le procédé indiqué

ci-dessus 1 -f- 2X, la fraction d’où provient cette série sera- V^~**

qui peut être regardée comme la somme de la série 1 4 x 1

+ jx' &c. quoique divergente dans le cas où x est l’unité ouplus grande que l’unité, en prennant ce mot somme dans laseconde acception de la note ci - dessous ; mais si x étoitune fraction de l’unité, par exemple £ , la série deviendroit1 - 4 - -j - 4 - 1 - 4 - \ - 4 - - 4 - y! - 4 - - 4 - 7—g &c. dont la somme est

8, même dans la première acception de la note qu’on vient deciter; car c’est ce que devient la fraction ci dessus lorsqu’on yfait x == q-.

Mais on peut ne demander que la somme d’un certain nombrede termes, par exemple des trente premiers. Comment s’yprendra-1-on dans ce cas , le voici : il faudra alors de la sommetotale de la série retrancher celle de cette même série à com-mencer du trente-unièine terme, qui sera alors exprimé parFx J0 , P étant son coefficient mimétique qu’on trouvera en cher-chant le terme général de la série. Or le restant de la série étantlui même une série récurrente soumise à la même loi et pro-venante d’une fraction ayant le même dénominateur, ontrouvera parle procédé ci-dessus indiqué le numérateur de cettefraction ; et de la fraction totale, ôtant cette dernière, le restantexprimera la somme des trente premiers termes, soit que la sériesoit convergente ou divergente. Ainsi dans la série prise ci-dessus pour exemple on trouvera P ■= 974281 , et le coefficient

(1) On peut prendre dans deux sensdifferens cette expression , la sommed’une série prolongée à l’infini. Sousune de ces acceptions, c’eft la quantitévers laquelle la somme des termes decette série approche, d’autant plus qu’onen prend un plus grand nombre. Il fautconvenir que c’est-là l'acception la pluscommune. Sous l’autre, c’est uniquement

la quantité fractionnaire dont le déve-loppement a produit cette série, mêmelorsqu’elle est divergente , et que consé-quemment elle est nécessairement infinie.C’est dans ce sens que l’entend Euler,lorsqu’il trouve que la somme de lasérie suivante , qu’il nomme hyper-géométrique, 1 2 + 6 -f- 24 -f 110 &.C,

à l’infini est 0.4036524077.

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