yoa HISTOIRE

Q du terme suivant = 1576408. Enfin par la même méthode queci-dessus, on trouvera que le numérateur de la fraction quidonnera le restant de la série à commencer par Fa. 00 , sera974281 x'° -+- 1576408 x v . Ainsi, en supposant x — 1, on aura ,pour la somme des trente premiers termes de la série récurrente

1 -+- 3 4 7 11 <Scc. cette valeur - +1 ~ j~ 9741 - , ou (en

changeant les signes parce que 1 — 1 — 1 = — 1 ) celle-ci25540686. On peut juger par cet exemple de ce qu’il faudroitfaire si x étoit tout autre nombre entier que l’unité, ou étoit unefraction.

Une série récurrente prend quelquefois une forme en appa-rence si irrégulière et si bizarre qu’il seroit bien difficile de re-connoître si elle est de ce genre, et quand on le sauroit, dedéterminer la loi de sa marche ou son échelle de relation. Telleest celle-ci 1 — ox -+- 2.x* — 4- r3 -+- ox * -+- 9-^’ — — 18a: 7

+ 17a: 8 &c. ; ou en faisant x = 1, celle-ci 1 — 0-1-2 — 4 -+_ °+ 9 — 4—ié-t-17, &c. Malgré cette bizarre marche, c’est pourtantune série récurrente dont l’échelle de relation est oA — 2B -+- C jles trois termes initiaux étant 1, o, 2.

C’étoit donc un problème à résoudre, et que je ne sache pasavoir été même tenté avant le cit. Lagrange, que de trouver lemoyen de reconnoître si une série proposée est récurrente, etlorsqu’on s’en sera assuré de déterminer son échelle de relation ,ainsi que la fraction rationnelle dont elle est le développement ,ainsi que son terme général. Le cit. Lagrange en a donné lasolution dans un mémoire qu’on lit parmi ceux de la ci-devantacadémie royale des sciences, pour l’année 1772, sous le titre deRecherches sur la manière de former des tables des planètesd’après les seules observations ; elles le conduisent à se proposerle problème dont nous parlons j et parmi divers exemples de saméthode il prend cette série, 1,1,1,2,416,7,7,7,8, 10,là, i'S, i'à, 14, 16, 18, 19, 1 9, 19, &c. Il trouve qu’elle estrécurrente, ce qu’on auroit sans doute de la peine à reconnoîtrequoique sa marche soit assez apparente, et que son échelle derelation est à , — 4 , à, — 1, enfin que sa fraction génératrice

est- 1 — — f lx ---. Ce mémoire contient diverses autres re-

cherches intéressantes sur les suites de cette espèce. Mais noussommes à regret obligés de nous borner à cette indication.

Daniel Bernoulli a tiré de la théorie des séries récurrentes unmoyen aussi ingénieux que commode de résoudre par approxi-mation les équations algébriques (1). C’est en formant par la

(l) Comment, acad. sc. Petropol tanae. t. III.