2,36 HISTOIRE

minée, savoir celle qui résultera de — ; en y mettant au lieu de x

la même valeur que dans la série.

On pourra même encore différencier ces expressions , et

divisant de nouveau par dx on aura — = 2x( x + 3x-+- 6x 1

- 4 - iox 3 &c. ) dont on pourroit encore tirer autant de sériessusceptibles de sommation jusques à un terme déterminé, si xest l’unité ou un nombre plus grand , ou susceptibles de som-mation absolue, si x est une fraction. Car supposons x = ~cette série deviendra i -h | -i- ^ -t- x " + ‘ t? - * - H & c - = 8 ; cequ’on eut pû trouver par la méthode précédente: car cette sériea ses dénominateurs en progression géométrique , et ses numé-rateurs croissent comme les nombres triangulaires. Mais nouspassons pour abréger mille autres objets intéiessans que présentecette partie de l’ouvrage d’Euler.

Un des caractères qui distinguent spécialement les sériesétant celui d’avoir une somme linie ou infinie, c’est-à-dire unelimite ou aucune, il est intéressant dans cette théorie d’avoir unmoyen de le reconnoître : car on sait que la série î + T + T + i^ cc ’»quoique tous ses termes aillent en décroissant, donne une sommeplus grande que tout nombre fini. Mille autres séries, quoiqueaussi décroissantes , peuvent donc être dans le même cas , tandisqu’il est certain qu’il y en a une infinité dont la somme est finie ;celle-ci, par exemple , î -+- j -4- j -+- rz > dont la somme n’estque 2 . A quel signe reconnoîtra-t-on si une série a une sommefinie ou infinie ?

Euler a résolu ce problème , mais d'une manière qui n’aurapeut-être pas l’assentiment de tous les lecteurs. Une série, dit-il, (i) aura une somme finie, lorsqu’étant prolongée au de làde l’infini, ce qui en résulte n’y ajoute rien ; et au contraire elleaura une somme infinie, si étant prolongée au delà de l’infini,il en résulte une addition à faire à la série.

On se demandera sans doute ce que l’on peut entendre parune quantité prolongée au de là de l’infini. Cela est néanmoinsanalytiquement vrai ; car l’esprit géométrique semble n’êtrearrêté par aucunes bornes, pas même celles de l’infini, et Eulerdonne des exemples de son assertion paradoxale ; mais il seroittrop prolixe de le suivre dans son analyse, pour ainsi dire ,hyper- tran scen d ante.

Maclaurin a donné dans son Traité des fluxions, un moyen ,à notre avis, plus simple et moins sujet à exception , pourparvenir au même but. Nous allons le développer.

•0) JDe progress. harmonicis observationes. Comment. Acad. Petrop. t. VÎIL