DES MATHÉMATIQUES. Faut. V. Liv. I. o~

Si sur une ligne droite infiniment prolongée et du isée enparties égales , réputées l’unité , on élève à chaque point dedivision des perpendiculaires égales aux termes de la série pro-posée et que de chaque sommet de ces perpendiculaires on mènedes parallèles à l’axe, terminées chacune à la prolongation dela suivante, on aura autant de rectangles qui représenteront lestermes de la série. Qu’on fasse ensuite ou qu’on conçoive unecourbe passant par les sommets de ces perpendiculaires, il enrésultera une courbe ayant son axe pour asymptote, puisqueces termes décroissent jusqu’à devenir moindres que toute quan-tité donnée. D'un autre côté il est aisé de voir que l’aire de cettecourbe est moindre que la somme de tous ces rectangles, de laquantité de tous les petits triangles mixtilignes qui se trouventau-dessus de la courbe et dont la somme est quelque peu plusgrande que la moitié du premier terme. Car si au lieu de cestriangles on prenoit les petits rectangles dont ils sont les moitiés ,il en résulteroit une somme égale à ce premier terme.

Si donc l’aire infiniment prolongée de cette courbe est infinie ,on en devra dire autant de la somme de la série proposée , et aucontraire. Mais on le reconnoîtra aisément; car si, faisant passerpar un des sommets de ces perpendiculaires une hyperboleordinaire, ayant la même asymptote, la courbe ci-dessus décritepasse entre l’hyperbole et cette asymptote, l’aire de cette courbesera finie, et conséquemment aussi la somme de la série. Laraison en est que l’hyperbole ordinaire est la limite entre toutesles hyperboles des dégrés supérieurs, en ce qui concerne l’infinitéou non-infinité des aires comprises entre les branches de ceshyperboles et leurs asymptotes. Toutes celles qui passent entrel’hyperbole ordinaire et son asymptote, ont des aires finies dece côté, et toutes celles qui passent au de là ont des aires infinies.C’est pourquoi si une série ayant avec celle-ci i -+■ ~ -t- j - 4 - &c.

un ou deux termes communs, a ensuite tous les autres moindresque leurs correspondans dans cette série, sa somme entenduedans le sens ordinaire sera finie ou aura une limite. Ainsi, pouren donner un exemple, soit cette série & c. r

dont les deux premiers termes sont communs avec les deuxpremiers de la série hyperbolique i+j + j -h-^&c. ; commeensuite ~ est moindre que et 3^ moindre que ^ et ainsi desuite, la série proposée aura une somme finie ; elle est en effetégale à 2.

Mais on pourra d’après ce principe trouver encore avec plusde facilité si la somme d’une série est finie ou infinie en em-ployant le moyen suivant. 11 n’y aura qu’à prendre trois termeséquidistans de cette série ; et si le premier est au dernier dans un,rapport plus grand que celui de la différence du premier au