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lui servent à trouver par approximation la somme d’une série ;sa méthode pour ce dernier objet lui donne une suite d’ex-pressions de plus en plus approchantes de la somme de la série ,de même que si l’on en avoit sommé un grand nombre determes.

Je ne dois pas omettre ici M. Landen , qui , dans ses Ma-thematical lucubrations ( Lon. 1 j 55 , in- 4 °. ), s’est occupé dumême objet. Il y donne aussi quelques théorèmes généraux ,au moyen desquels il parvient à la sommation , soit absolue ,soit fort approchée, des diverses séries. Mais nous sommes obligésde nous en tenir à cette indication. Je remarquerai ici en passantque M. Landen est auteur d’une découverte géométrique tout-à fait inattendue : c’est l’égalité d’un arc hyperbolique à deuxarcs elliptiques assignables (1). Cette vérité singulière a été en-suite démontrée plus simplement par le cit. Legendre. Mais onsait assez que rarement les premiers inventeurs ont pris le cheminle plus court. On a déjà dit ailleurs que M. Landen est inven-teur d’une analyse particulière , qu’il nomme résiduelle , etdont il publia en 1 y 55 une annonce et un essai. Nous tâcheronsd’en donner ailleurs quelque idée. Ce géomètre , l’un des plusprofonds analystes de l’Angleterre, mourut en 1776 ou 1 777.

Les Transactions philosophiques de la société royale deLondres contiennent plusieurs morceaux dont les auteurs onteu pour objet d’étendre , de perfectionner ou de faciliter l’usagedes séries. De ce nombre est un mémoire de M. FrançoisMazères (2) , dont le titre est: Méthode pour trouver la valeurd’une série infinie de quantités décroissantes , suivant unecertaine loi , lorsqu’elle converge trop peu , &c. Sa méthodeconsiste dans une transformation au moyen de laquelle unesérie comme a-h bx-+- car 1 -h dur 3 8 c c. prend une autre forme,

1 p 1 jg 1 J)' 1 g I (

comme a -—- - — ■— ;, qui est nécessairement con-

vergente , puisque^^L-^ — ^ , , &c. sont toujours des fractions

moindres que l’unité, toutes les fois que x sera égale à l’unité oul’excédera. Les quantités D' , D", D"’ sont les premières desdes différences successives de a , b , c , d , que l’on doit aussisupposer aller en diminuant , ainsi que ces différences. En ap-pliquant cette méthode à divers cas de séries très-peu conver-gentes , comme celle-ci , 1 — ÿ —t—— y 8 cc., qui converge silentement que 10000 termes sommés de suite donnent à peinele rapport d’Archimède : en appliquant, dis je, sa méthode àcette série, M. Mazères trouve que 10 ou 12 termes donnent

(1) Trans■ philos, ann. 1775. (î.) Idem. 1777, tom. L

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