246 HISTOIRE

toire idéale de ce calcul, il faut revenir à M. Taylor , ou à ceux

qui ont en quelque sorte commenté ses idées.

M. Taylor venoit à peine de publier son livre , qu’un exem-plaire étant tombé entre les mains de M. ISicole , il le lut, l’étu-dia , et s’attacha à éclaircir et étendre cette théorie. Ses premiersessais en ce genre sont consignés dans un mémoire inséré parmiceux de l’Académie en 1717 , et qui tut suivi de deux autres en1723 et 1724- Là M- Nicole explique d’une manière extrême-ment claire les principes et les applications de ce calcul desdifférences , à la vérité bien moins généralement que ne le taitM. Taylor : car M. Nicole ne passe pas au-delà des premièresdifférences , tandis que M. Taylor en embrasse les différendsordres.

C’est principalement dans la sommation des séries que con-siste l’usage du calcul dont nous parlons ici. Car tout commed’une différentielle Leibnitienne , on remonte par le calcul in-tégral à la quantité dont elle est la différence inlinijnent petite ,de même d’une différence tinie on remonte par un calcul , qu’onpourroit nommer intégral. Jini, à la quantité dont cette différenceexprime l’accroissement fini. 11 est nécessaire ici d’entrer dansdes détails ; ce que nous allons faire en suivant de près M. Ni-cole , dont le procédé est de la clarté la plus lumineuse.

Si l’on suppose la quantité variable x augmenter par des ac-croissemens finis et égaux que nous nommerons n , elle devien-dra successivement x ; x -+- n ; x -t- m , &C. Soit donc mainte-nant une quantité X — x x x -t- n dont on veuille connoître ladifférence finie; il est évident qu’elle sera ce que devient x. x +/z,lorsque cette expression devient x-t-nx x -\- 2/z , et en dé-duisant la quantité x. x -+- n ; ce qui donne, toutes réductions

faites, 2«xDe même si l’on a la quantité x. x-\-n. x-^in,et qu’on veuille connoître son incrément lorsqu’elle devient

x-+- n- x-\- m. x-+- 3/2 , on trouvera 3 /z X x -+- ti. x -t- 2/z ; (1 oùl’on voit d’abord naître une règle qui abrège cette opération ,savoir de supprimer le premier facteur , comme ici x ou laquantité croissante , multiplier l’incrément n par le nombre desfacteurs de la quantité à différentier , et enfin supprimer leplus élevé des facteurs.

La manière de revenir de la quantité différenciée à l’intégraled’où elle provient , est évidemment l’inverse , et l’on voit qu’ilfaut pour cela , puisqu’on a rejette le premier des facteurs dans ladifférenciation, le reprendre dans l’intégration, ou celui qui pré-cède le premier de ceux de la quantité proposée comme différencefinie à intégrer, et diviser par l’incrément constant n multiplié