248 HISTOIRE

donner tous les facteurs de la fraction à différentier , plus un

croissant de la différence commune.

De là naît aussi la manière de revenir à la fraction qui estl’intégrale de la fraction proposée pour différence ou incrément.Car il faut d’abord supprimer son dernier facteur , comme dansle dernier exemple x ■+■ 6 n, et diviser par la différence communen , multipliée par le nombre des facteurs comme ici 3 , onretrouvera ici pour grandeur ou intégrale dont la différence

a été donnée , —' . - ; ainsi celle-ci ——— ^ . .— =

x. x + n. x + 'in x. *-f -n. x a*-+-3/2. * + 4/1

donnera, en supprimant le dernier facteur et divisant

encore par Art , elle deviendra , dis ie , — 1 — , qui

1 ^ J *. x + n. * + î/2. x + i*’ n -

sera l’intégrale dont la quantité ci-dessus sera la différence oul’incrément.

Telles sont les règles de cette arithmétique ou algorithme par-ticulier. Voyons-en l’application.

Ce calcul est, comme on l’a déjà dit, applicable à la som-mation de séries de nombres formées selon certaines lois. Qu’onpropose par exemple , de trouver la somme de cette série r.2-4- 2. 3 -+- 3 . 4 -+- 4 - 5 &c. jusqu’au ioo° terme ; mais avant qued’aller plus avant, il est nécessaire de faire l’observation sui-vante.

Lorsqu’on a une série de grandeurs croissantes , suivant uneloi donnée et continuée jusqu'à un terme quelconque A , le termesubséquent B est évidemment la différence de la somme de tousles termes jusqu’à A inclusivement , d’avec la somme de tous lestermes jusques et inclusivement B. Donc si l’on avoit analyti-quement la somme de tous les termes y compris A ; et qu’on enprît la différence finie , elle donneroit le terme B. Si donc onveut avoir la somme de tous les termes jusqu’à A inclusivement,il faut chercher le terme B qui le suit , et l’exprimer analy-tiquement ; alors , en le considérant comme une différence finie ,qu’on en prenne l’intégrale , elle sera (sauf quelquefois l’addi-tion d’une constante , comme dans le calcul intégral ordinaire)la sgmine de tous les termes jusqu’à B exclusivement. Revenonsmaintenant à la série proposée ci-dessus.

Il est aisé de voir que chaque terme s’y explique analytique-

nent par x. x -t- i , x étant successivement i. 2. 3 . &. Le cen-tième terme étant donc x. x-¥• 1 (où a: est 100) , le cent-unième

sera a’-t-i. x2 ; mais l’intégrale de x -+- 1. x -t- 2 est

—2--—— qui devient ( x étant 100 ) =1--= 040400.

3 * 1 K ' 3 D

rrenons