DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Lrv. I. 2 j 9

Prenons maintenant une série décroissante comme celle-ci :-t, -+- ~ -t- ~ ôic. Il faut ici considérer la série comme

/ 1,4 . 5 i , . , . ,,

renversée et croissante de son extrémité, on elle se termine parzéro, vers son commencement. Ainsi le terme — ou —estla différence de la somme entière commençant par o , ou ledernier terme jusques et inclusivement le terme qui suit ^

Ainsi prenant , suivant le précepte de la méthode , l'intégralede —, qui est f, on aura la somme de toute la série , àcommencer prfr le second terme Or a- est ici = 2 ; donc

toute la somme de la série ci-dessus, moins le premier terme,est ; et si on y joint ce premier terme, qui est j, la sommetotale sera = i.

On pourroit par une semblable méthode trouver la sommede la série, à partir de tel terme qu’on voudroit, comme dudixième ; car ce dixième sera l0 ' , 0 — , , dont l’intégrale est .Toute la série en commençant par le dixième sera donc ~ ,et en eiiet les neufs termes precédens font ; ce qui vérifiel’opération, la somme totale ayant été trouvée — i.

Remarquons ici , que dans cette série , le premier termeterme étant la somme des deux premiers est | , des trois

premiers et ainsi de suite , d’où il est facile de conclure quela somme de tous est ~ = r, comme la donne le calcul ci-dessus.

Dans la suite, c’est-à-dire en 1728 , M. Nicole remplit P’enga-gement qu’il avoit en quelque sorte contracté, en annonçantune seconde partie au moins de son mémoire. Dans cette secondepartie qui fut même suivie d’un supplément en 1724, il consi-dère des suites auxquelles la méthode employée en 1717 n’étoitpap applicable , et il donne à cette méthode une extension con-sidérable , au moyen de laquelle il trouve la sommation d’uneclasse considérable de séries , qui étoient de nature à échaperà ses premières recherches. Nous remarquerons au surplus icique M. Nicole fut prévenu en cette dernière partie par M. deMontmort, qui donna en J719 ou 1720, dans les Transactionsphilosophiques , un mémoire sur la sommation des séries, ouil donne la somme de celles-ci, et même celle d’autres encoreplus compliquées par une méthode différente. Mais on doitconvenir que l’un et l’autre allumèrent en quelque sorte leurflambeau à celui de Taylor, surtout M. Nicole. Car quant àM. de Montmort, il avoit déjà trouvé beaucoup de choses dece genre , avant que M. Taylor eût publié son ouvrage j cefut même le sujet d’une petite discussion entre eux.

Nous avons commencé à nous énoncer selon la manière doTome III. I i