DES MATHÉMATIQUES. Part. Y. Liv. T. z 5 tLa loi do la progression est assez manifeste pour ne pas exigerplus de développement; si donc de cette série on retranchele premier terme Y, le surplus exprimera l’accroissement simul-talné de Y. Il faut observer c]ue si i i étoit négatif, c’est-à-dire que x alloit en décroissant , les termes de la série ci-dessusdevroient être pris alternativement positifs et négatifs.

Il n’y aura donc pour trouver cet accroissement qu’à diffé-rentier successivement la fonction Y. Selon la variable x , etdiviser par dx , ce qui effacera les dx, dx 1 , &c. ; et commeà moins que la fonction proposée ne soit une fonction trans-cendante ; cette différentiation ci terminera la série en question ,se terminera elle-même, et l’on aura en termes l’accroissementde Y, exprimé en x et *x, a &c.

Soit, par exemple, la fonction Y= ax -t- x ' 1 -4- x } , on aurad Y =r= adx 1 -t- ixdx -t- ix*dx ; dd Y — 2 dx 1 - 4 - 6xdx* ;d'X— ùdx % \ d *Y = o. Ces valeurs étant substituées dans les

termes de la série, on aura l’incrément de Y r = &x. a-v- 2.x-t- ôx*

-l- ax z . 1 -4- 5x -t- AZ 1 .

M. Taylor s’étant presque borné à indiquer la source de sonthéorème , divers géomètres se sont attachés à en donner ladémonstration. Maclaurin en donne une , qui est dérivée de laconsidération des fluxions ; cette démonstration est rigoureu-sement suffisante ; mais il étoit plus élégant, et à certains égardsplus satisfaisant pour l’esprit, de n’y employer que des consi-dérations purement analytiques; c’est ce qu’a fait avec le plusheureux succès le C. L’huilier, de Genève, dans son ouvrageintitulé ; Vrincipiorum calcuLi diff. et integr. expositio ete-rne ntari s , &c. (Tubingæ, 17q 5 , in- 4 °. ) , ouvrage dont nousaurons encore à faire une plus ample mention ; il y fait d’abordvoir la vérité du théorème dans le cas où Y est une simplepuissance de x ; et comme toute fonction n’est qu’un aggrégéde puissances multipliées, ou non, par des quantités constantes,il en tire une démonstration complette. Le C. L’huilier nousfait aussi connoître, et développe une démonstration de M. Pflei-derer, savant professeur de mathématiques à Tubinge, qui faithonneur à la sagacité de son auteur. Enfin, dans une autrepartie de son ouvrage , il étend le théorème de Taylor, auxfonctions même composées de plusieurs variables. Nous noustrouvons à regret obligés de nous borner à cette indication.

Cette série a aussi son utilité dans le calcul des fluxions oudifférentiel ; car si Y représente une ordonnée de courbe , et,x l’abscisse correspondante, dx l’accroissement ou le décrois-sement de cette abscisse, on aura la valeur de l’ordonnée suivante

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