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eu que x* à différentier de cette manière, on auroit eu 2 Xa x -t- Ax 1 . Ainsi l’on trouvera de même la différence finiede a: 3 =x x J -H à x % A x -+• 3 x a x 1 -+- a .zr 3 — .z.- 3 , c’est-à-dire '$ x 1 a x -h- '5 x a x 1 a a: 3 . Tout cela doit être évidentpour qui est au fait du calcul différentiel, et des raisons pour les-quelles dans ce calcul on néglige ou exclut entièrement les termes ,où d x se trouve élevée à une puissance supérieure. Ainsi la

différence de x n se trouvera être nx n ~' Am-t- n. a — 1 i"' 1 aï’-t -n.n — 1 . n — a. x n ~ 3 ax* , & c.

Il est donc facile de trouver la différence finie de toute puissancede x , pourvu qu’elle ne soit pas fractionnaire ; car dans le casoù elle seroit fractionnaire , la série ci-dessus ne se terminera

pas. Ainsi la différence de V m sera ^ x~ ax -j. — ^ x~ ax ï

-\x~ax, &c. ou

Ax'

-, &c.

2j/x *X*V/j

On devroit par la même raison trouver seulement en suite

infinie la différence de - ou x~' , et en effet la formule donneune suite infinie. Cependant calcul fait on trouve que la diffé-rence finie de-est- * -- ou- - —. 11 n’y a pas néanmoins

ici de contradiction ; cela vient de ce que cette suite est forméede celle de ax par ^ - , qui est elle-même en une suite. Mais

cela n’a pas lieu dans le cas d’une puissance fractionnairecomme j &c.

La différence de toute expression ou fonction rationnelle ,peut donc être exprimée en termes finis , mais il n’en est pasainsi des fractions ou entrent des puissances fractionnaires ouracines. Celle ci ne peuvent être exprimées qu’en suite infinie.

Il en est de même des quantités transcendantes, comme logari-thmiques, exponentielles ou circulaires; M. Euler enseigne dansl’ouvrage cité , la manière de trouver leurs différences finies.Mais nous croyons devoir y renvoyer, ou aux auteurs nom-breux qui ont traité après lui cette partie de l’analyse.

Disons maintenant quelque chose de l’intégration des diffé-rences finies. De même que dans le calcul différentiel , on al’intégration de dx — x , celle de xdx =, Scc. (on fait abs-traction de la constante à ajouter ) f>ar une sorte de récipro-cité , c'est à dire par ce que le calcul différentiel a appris quela différentielle de x étoit dx , celle de x*=x.ixdx , Scc. ; demême ici * puisque la différente de x est -ax , et celle

x 1 — axax -+- ax 1 , Scc. ; il est facile de conduire que l’inté-