2 6o HISTOIRE

est la limite du rapport de l’ordonnée à la sousécante PS , li-mite qui résulte du rapprochement continu , et enfin de la coïn-cidence des points q et: Q ; ou ce qui est la même chose , del’anéantissement de qr et r Q.

.Nous allons donc chercher , au moyen du calcul des diffé-rences finies , l’expression de ces quantités. Nous y supposeronsensuite qr et rq s’évanouir’, P p s’évanouissant lui-même , etl’expression qui en résultera donnera, sans aucune suppositionde quantités négligibles à cause de leur petitesse , le rapportde l’ordonnée à ta soutangente.

AP et PQ étant donc nommés respectivement x et y et= Ax , on aura d’après l’équation de la parabole ( le para-mètre étant p ) , pQ = ~Y px ; pq z —p X (x -t- ax) , et consé-

quemment pq x=lV px -+- pAx , qui réduite en série , donne— x Yl - V' l -i- y ' j - &c. Ainsi Pon aura

~V p~

2V/Ï

ü y/*

Axv/p

Vr — pq—pr=-^ t

v^*

-, &c.

Maintenant il est aisé de voir que le rapport de qr à / Q estle même que celui de QP à PS. A.insi le rapport de l’ordonnée

à la sousécante sera exprimé par où , mettant an lieu de aji

Ay — v/f &c .

sa valeur trouvée plus haut, on aura -A = -¥-!■

1 ’ Ax i j/

Mais le rapport de

i \/x

Ay devient celui de l’ordonnée à la soutan-

gente, lorsque ax devient zéro $ ainsi ce rapport sera ce que

&c. , lorsque ax s’évanouit. Or il est

devient

2 \/ * fc \/ X

évident qu’il est alors uniquement exprimé par

Ÿ f ou ■

ainsi

l’on aura ~V px : ix : : y : à la soutangente qui , en

mettant au lieu de y sa valeur "Ypx, se trouvera = -ax , commeon le sait d’ailleurs.

On trouvera la même chose de cette autre manière. De l’équa-tion y 1 = px on tire ^ = —£-Ainsi puisque ^ est le

•J X i.t 2 j+A) 11 Ax

rapport de l’ordonnée à la soutangente lorsque a y devient-=0,ce rapport se réduira à d’où l’on déduira de même que

ci-dessus , la soutangente égale à ix.

On pourra, par une seinblable.méthode, trouver la soutan-