DES MATHEMATIQUES. Parx. V. Liv. I. ^6^pente dans toute autre combe géométrique, mais ce n’est pasici le lieu d’entrer dans de pareils détails.

Quant aux courbes mécaniques ou transcendantes , il y auraplus de dilïiculté, parce qu’il faudra réduire en série la quantitétranscendante , circulaire , logarithmique ou autre plus élevée ,qui entre alors dans l’équation; et il faut convenir que dansce cas , l’opération devient beaucoup plus compliquée que dansl’emploi du calcul différentiel. Mais le principal usage de cettethéorie des limites, est de montrer la certitude des principeset de la marche du calcul que nous nommons injinitesimal.

Nous pourrions encore , si la nature de cet ouvrage le per-mettoit, montrer comment la théorie des limites s’applique àla détermination du rayon de courbure, et à la solution d’autresproblèmes de la théorie des courbes. Mais ils exigent pour laplupart l’emploi des différences du second ordre, ou d’ordresultérieurs. Il faut recourir pour se satisfaire sur cet objet auxlivres que nous indiquerons bientôt, comme ayant traité cettematière expressément, et avec le plus grand détail.

Après cette application de la méthode des limites à celle destangentes , qui est en quelque sorte la hase de tout le calculdifférentiel : voici une application de la même méthode à laquadrature des courbes, problème qui n’est pas moins universelet fondamental dans le calcul intégral. Nous avons à faire voirici que l'incrément instantané de l’aire d’une courbe , estexactement proportionnel à l’ordonnée elle-même, ce qui estla hase de 1 expression si connue S.ydx égale à l’aire.

Il est nécessaire à cet effet d’employer ici une vérité de lathéorie des limites qui suit assez évidemment de leur notion ,pour que tout lecteur, sur son simple exposé, en reste con-vaincu. C’est que si une grandeur est par sa nature, toujoursmoyenne entre deux autres qui peuvent se rapprocher au pointde ne différer que de moins que toute quantité assignable, cequi sera vrai de ces deux dernières , ou de l’une d’elles, lorsqueleur différence s’anéantit, le sera également de la première.

Cela étant entendu, soit ( fig. 56) la couibe A QD, dont AP, FQl’abscisse et l'ordonnée correspondante , soyent x et y ; queP p soit &X, et soyent formés sur Yp les rectangles P 'pqs, YprQ ; surl’axe APyr soit élevé AB perpendiculaire au sommet de la courbeet formé le rectangle AptB.

11 est évident que les accroissemens simultanés de ce rec-tangle et de l’espace curviligne APQ seront d’un côté le rec-tangle PT^p , et de l’autre l’espace YQqp , lequel est plusgrand que PQ/y> , et moindre que PS^?. Ainsi l’accroissementde l’espace curviligne en question est à l’accroissement du rec-tangle P r, en une raison plus grande que celle du rectangle