DES MATHEMATIQUES. Part. V. Lxv. I. 267

flû + arx 1 , AA -t-yj' 2 , où conséquemment a et x sont commeA et y , ces deux fonctions seront entr'elles comme a 4 à A-*,ce qui est presque évident ; car des composés semblables , soitsuperficiels , soit solides, soit hyper-solides , de quantités pro-portionnelles , sont comme les côtés homologues de ces com-posés élevés au degré de leurs dimensions ; delà suit une pro-priété curieuse et utilement employée par Jean Bernoulli danssa solution du problème des tautochrones dans un milieu ré-sistant , savoir :

2 0 . Que des fonctions semblables de dimension nulle sontégales entr’elles , quelle que soit leur composition. Cela se déduitaisément du théorème précédent, car a° — A°, ou x°z=zy°,toutes ces expressions se réduisant à l’unité.

Lorsqu’on a une fonction donnée et explicite , elle est facileà différencier. Les règles communes du calcul différentiel en-seignent à trouver la différentielle de toute expression compo-sée de variables et de constantes. Mais si la fonction est in-déterminée , et qu’on sache seulement qu'il y entre une va-riable telle que x , comment exprimerons-nous sa différentielle ?

N’y ayant dans cette fonction que x de variable, il est clairque cette différentielle sera dx , multipliée par une autre fonc-tion de x ; et comme elle est indéterminée , puisque la pre-mière l’est elle-même, il est évident qu’on ne peut la désignerque par dx , multipliée par une nouvelle fonction de x , qu’ilfaudra désigner par un signe différent. Ainsi la première étantpar supposition F : x , il faudra désigner la seconde par F': x tou ipx, comme on voudra; car cela est arbitraire, pourvu queles mêmes signes désignent toujours les mêmes choses. Ainsila différentielle de F : x sera dxF':x, ou dxyx, et aussitôtque la première sera expliquée, dxF'.x ou dx ? : x le seraaussi, et vice versd, du moins autant que le permettent lesbornes du calcul intégral ; car si F': x devient connu, dxF'xest évidemment une expression qui , si elle est intégrable ,donne Fa:.

Si la fonction est de deux variables , les mêmes principesfont voir que d F (x,y) est dx F' (x : y) •+• dy F" (x ,y) ,en faisant varier successivement x et y , et ainsi si la fonctionest formée de plus de deux variables.

Pour en donner un exemple , soit F (a:) — ax — xx. Faisantvarier x , on aura adx — 2xdx ; ainsi la fonction F' (a:) sera

a — 2x , et dx F' ( x ) sera dx x a — -xx. Si donc ne connois-sant pas F (a:) on parvenoit à connoître F 7 (a:) , savoir a — 2X,on auroit dès-lors adx — 2xdx , dont l’intégrale est ax — xxzt.c.Ainsi F ( x ) seroit ax — xx dr c.

L 1 a